Question

ME AJUDEM POR FAVOR !!!  Determine m real para que a equação abaixo admita pelo menos uma raiz real.



$3^{2x} - (2m * 3). 3^{x} * (m*3) ;0$


obs: eu usei o sinal (*) como sendo o sinal de adição
e o sinal (;) como sendo igualdade
motivo:a tecla está quebrasa

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$3^{2x}-(2m+3)\cdot 3^{x}+(m+3)=0\ \ \ \text{(i)}$

Fazendo a seguinte substituição

$y=3^{x} \Rightarrow y^{2}=3^{2x},\ \text{ com }y>0$

podemos reescrever a equação assim

$y^{2}-(2m+3)y+(m+3)=0\ \ \ \text{(ii)}$

que é uma equação polinomial do 2º grau em $y$.
Para que esta equação $\text{(ii)}$ admita, pelo menos, uma raiz real, o seu discriminante $\Delta$ deve ser maior ou igual a zero, ou seja

$y^{2}-(2m+3)y+(m+3)=0\\ \\ \Delta \geq 0\\ \\ \left[-\left(2m+3 \right )\right]^{2}-4 \cdot 1 \cdot \left(m+3 \right ) \geq 0\\ \\ \left(4m^{2}+12m+9 \right)-4m-12 \geq 0\\ \\ 4m^{2}+8m-3 \geq 0\\ \\4m^{2}+8m+(2)^{2}-(2)^{2}-3 \geq 0\\ \\ \left(4m^{2}+8m+4 \right )-4-3 \geq 0\\ \\ \left(2m+2 \right )^{2}-7 \geq 0\\ \\ \left(2m+2 \right )^{2} \geq 7\\ \\\left | 2m+2 \right | \geq \sqrt{7}\\ \\ 2m+2 \leq -\sqrt{7}\ \text{ ou }\ 2m+2 \geq \sqrt{7}\\ \\ 2m \leq -\sqrt{7}-2\ \text{ ou }\ 2m \geq \sqrt{7}-2\\ \\ m \leq \frac{-\sqrt{7}-2}{2}\ \text{ ou }\ m \geq \frac{\sqrt{7}-2}{2}$

Mas a condição $m \leq \frac{-\sqrt{7}-2}{2}$ invalida a restrição $y>0$, pois ao substituirmos na equação $\text{(ii)}$ e resolvermos, encontramos valores negativos para $y$. Logo, a única solução possível é

$m \geq \frac{\sqrt{7}-2}{2}$