Question

Você é convidado a projetar uma ponte metálica, cujo comprimento será de 2,0 km. Considerando os efeitos de contração e expansão térmica para temperaturas no intervalo de -40 °F a 122 °F e o coeficiente de dilatação linear do metal é de 12 x 10-6 °C-1, qual a máxima variação esperada no comprimento da ponte em metros? ​

Answer 1

De acordo com os conceitos de dilatometria e realizando os cálculos necessários obtém-se que a variação esperada no comprimento da ponte será de 2,16 metros.

 

Dilatação térmica linear

A dilatação térmica é o fenômeno do aumento de uma ou mais dimensões em um corpo, sendo causado pela variação de temperaturas. Destarte, a dilatação linear ocorre comumente em barras, tubos, fios, isto é, em corpos  em que uma dimensão predomine sobre as demais.

 

O cálculo da dilatação linear obedece a seguinte equação:

 

ΔL = L₀ ∙ α ∙ Δθ

 

Em que

• ΔL é a variação do comprimento;
• L₀ é o comprimento inicial do corpo;
• α é o coeficiente de dilatação linear do material que compõe o corpo;
• Δθ = θ - θ₀ é a variação de temperatura sofrida pelo corpo.

 

Para resolver a questão, é preciso notar primeiramente que as temperaturas e a dimensão da ponte estão fora das unidades desejadas no enunciado. Logo, é necessário converter graus Fahrenheit para graus Celsius e transformar quilômetros em metros

 

Fahrenheit para Celsius: temperatura inicial

 

$\large\begin{array}{lr} \dfrac{\theta_c}{5} = \dfrac{\theta_f - 32}{9} \\\\ \dfrac{9\theta_c}{5} = -40 - 32 \\\\ \dfrac{9\theta_c}{5} = -72 \\\\ 9\theta_c = 5\cdot(-72) \\\\ \theta_c = \dfrac{-360}{9} = -40^{\circ}C\end{array}$

 

Fahrenheit para Celsius: temperatura final

 

$\large\begin{array}{lr} \dfrac{\theta_c}{5} = \dfrac{\theta_f - 32}{9} \\\\ \dfrac{9\theta_c}{5} = 122 - 32 \\\\ \dfrac{9\theta_c}{5} = 90 \\\\ 9\theta_c = 5\cdot90 \\\\ \theta_c = \dfrac{450}{9} = 50^{\circ}C\end{array}$

 

Convertidas as temperaturas, falta converter o comprimento da ponte. Basta pensar que 1 quilômetro equivale a 1000 metros, logo se a ponte tem 2 quilômetros, em metros terá 2000 metros

 

1 Km  -------- 1000 m

2 Km --------    x

x = 2 ∙ 1000

x = 2000 m

 

Agora todos os dados estão prontos

• θ₀ = -40 ºC
• θ = 50 ºC
• α = 12 × 10¯⁶ ºC¯¹
• L₀ = 2000 m

 

Enfim, aplicando os valores na equação da dilatação linear, obtém-se

 

ΔL = L₀ ∙ α ∙ Δθ

ΔL = 2000 ∙ 12 × 10¯⁶ ∙ [50 - (-40)]

ΔL = 2 × 10³ ∙ 12 × 10¯⁶ ∙ (50+40)

ΔL = 2 × 10³ ∙ 12 × 10¯⁶ ∙ 90

ΔL = 2 × 10³ ∙ 12 × 10¯⁶ ∙ 9 ∙ 10

ΔL = 2 × 10⁴ ∙ 12 × 10¯⁶ ∙ 9

ΔL = 24 × 10¯² ∙ 9

ΔL = 216 × 10¯²

ΔL = 216/100

ΔL = 2,16 m

 

Essa será a variação de comprimento causada na ponte, mediante as condições informadas.

 

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