Question

(UFRGS 2017)Na figura abaixo, encontram-se representados quadrados de maneira que o maior quadrado (Q1) tem lado 1. O quadrado Q2 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q1; o quadrado Q3 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q2 e, assim, sucessiva e infinitamente. A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na figura é:A) 1/2B) 1/4C) 1/8D) 1/16E) 1/32

Answer 1

Olá!

Temos neste caso representados quadrados, onde a partir dos vertices nos médios dos lados, do primer quadrado, são construidos outros quadrados sucessiva e infinitamente.

Dessa forma sabemos que temos uma progressão geometrica infinita, e que sua razão (r) = 1/2.

Sabemos que a area de um triângulo é dada por:

$A = \frac{b * h}{2}$

Por tanto a área do primer triângulo vai ser:

$A_{1} = \frac{\frac{1}{2} * \frac{1}{2} }{2}$

$A_{1} = \frac{1}{8}$

Agora como trata-se de uma progressão geometrica infinita podemos aplicar a seguinte formula, para determinar soma das áreas da sequência dos triângulos sombreados:

$A_{S_{\infty}} = \frac{A_{1}}{ 1 - r}$

$A_{S_{\infty}} = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2}} \\ A_{S_{\infty}} = \frac{1}{4}$

Assim a alternativa correta é: B) 1/4