(PUC-RIO 2008)Na seqüência 1, 3, 7,..., cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é:A) 1000B) 1002C) 1015D) 1023E) 1024
Soluções para a tarefa
chamando um termo qualquer de ak e o termo anterior de an, temos a seguinte expressão
ak=2an+1
também temos a seguinte sequência
(1,3,7,15..)
o quarto termo, que foi dado, seria
a4=2a3+1
a4=2(7)+1
a4=15
fazendo os outros..
a5=2a4+1=31
a6=2a5+1=63
a7=2a6+1=127
a8=2a7+1=255
a9=2a8+1=511
a10=2a9+1
a10=2(511)+1
a10=1023
letra D
Resposta:
D) 1023.
Explicação passo-a-passo:
Temos:
1, 3, 7, 15, 31...
Do 1 para o 3, somamos 2.
Do 3 para o 7, somamos 4.
Do 7 para o 15, somamos 8.
Repare que os números que vamos somamos ao anterior formam uma P.G. de razão 2.
Nesta progressão teremos:
a1 referindo-se a quanto somaremos para obter o 2° termo da sequência original.
a2 referindo-se ao 3° da sequência original. E assim sucessivamente.
Isso significa que o a9 vai referir-se ao 10° termo da sequência.
Como cada elemento dessa P.G. refere-se a números adicionados desde o inicial na primeira sequência, temos que a soma de todos eles vai ser o quanto adicionamos no total ao primeiro termo da sequência original.
Calcularemos a soma deles até o a9, então:
Soma dos 9 termos = a1(q⁹ - 1)/(q - 1)
S = 2(2⁹ - 1)/(2 - 1)
S = 2(511)/1
S = 1022.
Temos que a quantidade total somada ao termo inicial da sequência do enunciado é 1022. Somamos então este valor ao primeiro termo da sequência que é 1:
1022 + 1 = 1023.
1023 é o 10° termo da sequência inicial, que por si não é P.G. nem P.A, mas cujos termos podem ser obtidos a partir da soma de seus termos com os de um P.G.
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Bons estudos! :D