Question

Ufjf/pism-mg) — considere o polinômio p(x) 5 x3 1 mx2 1 nx 1 q, onde m þ 1. Se uma de suas raízes é igual ao produto das outras duas, então essa raiz.

Answer 1

Usando um sistema de equações podemos concluir que essa Raíz é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{R_1=\dfrac{N-Q}{-M+1} }} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte questão

(UFJF/pism-mg) Considere o polinômio $P(x)=x^3+mx^2+nx+q$  onde M é diferente de 1 , Se uma de suas raízes é igual ao produto das outras duas, então essa raiz é igual a:

Polinômio de terceiro grau

Para resolver essa questão temos que usar as relações de Girard para polinômios de 3 grau

Equação do 3 grau é dada por

$\boxed{ax^3+bx^2+cx+d=0}$

• Equações de Girard

$R_1+R_2+ R_3= \dfrac{-B}{A}$

$R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_2 \cdot R_3= \dfrac{C}{A}$

$R_1\cdot R_2 \cdot R_3= \dfrac{-D}{A}$

$Raiz ~da ~equacao= R_1, R_2 , R_3$

A questão nos disse que uma raiz era igual ao dobro da duas outras, então podemos montar a seguinte equação

$\boxed{R_1= R_2\cdot R_3}$

Com isso em mente vamos resolver a questão

Vamos primeiro por partes

$P(x)=x^3+mx^2+nx+q$

Vamos montar um sistema de equações substituindo A, B C e D  pelo valores dados na função

$R_1+R_2+ R_3= \dfrac{-B}{A}\\\\\\R_1+R_2+ R_3= \dfrac{-M}{1}\\\\\\\boxed{R_1+R_2+ R_3= -M}$

$R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_2 \cdot R_3= \dfrac{C}{A}\\\\\\R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_2 \cdot R_3= \dfrac{N}{1}\\\\\\\boxed{R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_2 \cdot R_3= N}$

$R_1\cdot R_2 \cdot R_3= \dfrac{-D}{A}\\\\\\R_1\cdot R_2 \cdot R_3= \dfrac{-Q}{1}\\\\\\\boxed{R_1\cdot R_2 \cdot R_3=-Q}$

é temos a equação dada pela questão  $\boxed{R_1= R_2\cdot R_3}$. Com essas 4 formulas destacadas vamos montar um sistema de equações e tentar isolar R1

$\boxed{R_1+R_2+ R_3= -M}$

$\boxed{R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_2 \cdot R_3= N}$

$\boxed{R_1\cdot R_2 \cdot R_3=-Q}$

$\boxed{R_1= R_2\cdot R_3}$

Onde tem $R_2\cdot R_3$ Vou substituir por $R_1$, Na primeira eu sou vou deixar isolado o R2 e R3

$R_1+R_2+ R_3= -M\Rightarrow\boxed{R_2+R_3=-M-R_1}$

$R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_2 \cdot R_3= N\Rightarrow\boxed{R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_1=N}$

$R_1\cdot R_2 \cdot R_3=-Q\Rightarrow R_1\cdot R_1=-Q\Rightarrow \boxed{\left(R_1\right)^2=-Q}$

Perceba que na segunda equação em todos os fatores eu tenho R1 então posso deixar eles em evidencia. Pois é um fator comum

$R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_1=N\\\\\boxed{R_1\cdot (R_2+R_3+1)=N}$

Perceba que agora apareceu um R2+ R3 e eu sei que isso é igual a   $-M-R_1$ pela primeira equação então vamos substituir

$R_1\cdot (R_2+R_3+1)=N\\\\\boxed{R_1\cdot (-M-R_1+1)=N}$

Agora podemos fazer uma propriedade distributiva

$R_1\cdot (-M-R_1+1)=N\\\\\\\boxed{-MR_1-\left(R_1\right)^2+R_1=N}$

E veja que nessa nova equação apareceu o R1 ao quadrado e nos conhecemos esse valor da  terceira equação

Basta substituirmos

$-MR_1-\left(R_1\right)^2+R_1=N\\\\\\-MR_1-(-Q)+R_1=N\\\\\\\boxed{-MR_1+Q+R_1=N}$

Agora basta isolar R1 e correr pro abraço

$-MR_1+Q+R_1=N\\\\\\-MR_1+R_1=N-Q\\\\R_1\cdot (-M+1)=N-Q\\\\\\\boxed{\boxed{R_1=\dfrac{N-Q}{-M+1} }}$

Assim achamos que  essa raiz vale  $\Large\text{ \boxed{\boxed{R_1=\dfrac{N-Q}{-M+1} }} }$

Aprenda mais sobre equação do 3°

https://brainly.com.br/tarefa/22808861

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