Question

Na figura abaixo, os pontos O, E e F pertencem, respectivamente, aos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Elesforam escolhidos de tal forma que o quadrilátero AoEF é um quadrado. Sabe-se que o ladoAB mede 3/2 cm e que a área do quadrado AoEF é igual a 1cm2 Determine:a) o perímetro doquadrado AoEF; b) a medida dos dois outros lados do triângulo ABC;c) o cosseno do ângulo ACB

#UFF

Answer 1

a) 4cm

b) AC = 3cm e BC = $3\sqrt{5} /2$ cm

c) cosseno = $2\sqrt{5} /5$

Esta é uma questão sobre trigonometria, os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados ou os seus ângulos. Quanto aos ângulos: retângulo (90°); obtusângulo (maior de 90°); acutângulo (menor de 90°). Quanto aos lados: escaleno (todos diferentes); isósceles (dois iguais); equilátero (todos iguais).

Analisando a figura dada no enunciado, temos:

(a) O perímetro do quadrado é calculado descobrindo o valor do lado através da área:

$A = l^2\\\\1 = l^2\\\\l = 1 cm$

$P = 4*l\\\\P = 4*1\\\\P = 4cm$

(b) a medida dos dois outros lados do triângulo ABC:

- Sabendo que a medida de $DB = 1,5 - 1 = 0,5cm$ e que $DE = 1cm$, podemos calcular o valor de $BE$ pelo teorema de Pitágoras:

$0,5^2 = 1^2 = BE\\\\BE^2 = 5/4\\\\BE = \sqrt{5} /2 cm$

- $AB$ está para $BC$, assim como $FE$ está para $EC$:

$\frac{1,5}{BC} = \frac{1}{BC - \sqrt{5}/2 } \\\\BC = 1,5 BC - 1,5*\sqrt{5}/2\\\\1,5*\sqrt{5}/2 = 0,5 BC\\\\BC = 3*\sqrt{5}/2 cm$

- $AB$ está para $AC$, assim como $FE$ está para $CF$:

$\frac{1,5}{AC} = \frac{1}{AC-1} \\\\AC = 1,5AC - 1,5\\\\1,5= 0,5AC\\\\AC = 3cm$

(c) o cosseno do ângulo ACB

$cos\alpha = \frac{AC}{BC} \\\\cos\alpha = \frac{3}{3\sqrt{5}/2} \\\\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}/2 } \\\\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5} }{5}$