Question

Durante quanto tempo um capital deve ficar em um fundo de investimentos para que ele duplique o seu valor com uma taxa de 5% anual, com juro composto?

Answer 1

Resposta:

Pelo tempo de 15 anos um capital deve permanecer aplicado em um fundo de investimentos, a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, a fim de que o seu valor seja duplicado.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo a passo:

Cálculo de Juros Compostos:

M = C.(1+i)ⁿ

Onde:

M = Montante

C = Capital

i = Taxa de Juros

n = tempo

Da tarefa, são extraídas as seguintes informações:

a) Capital Inicial: C;

b) Montante: Capital Inicial duplicado de valor: 2.C

c) Taxa de Juros: 5% anual: 0,05

d) n = tempo de investimento: incógnito

Assim, podemos iniciar a resolução da tarefa:

M = C.(1+i)ⁿ

2.C = C.(1+0,05)ⁿ

2 = (1,05)ⁿ

Apliquemos, para a resolução da equação exponencial, a função logarítmica, em que:

aˣ = y⇔logₐy = x

Então:

$2 = (1,05)^{n} = > log_{1,05}2 = n$

Agora, convertamos o logaritmo da base 1,05 para a base 10, pois necessitamos desta conversão para fazermos uso de uma calculadora:

$log_ab=\frac{log_{10}b}{log_{10}c}$

$log_{1,05}2 = n\\\frac{log_{10}{2}}{log_{10}{1,05}}=n$

Com o auxílio de uma calculadora, obtemos os valores dos logaritmos decimais de 2 e de 1,05:

log2 = 0,3010299957 ≈ 0,30

log1,05 = 0,0211892991 ≈ 0,02

Assim:

$\frac{log_{10}{2}}{log_{10}{1,05}}=n\\\frac{0,30}{0,02}=n\\\frac{0,30.100}{0,02.100}=n\\\frac{30}{2}=n\\15 = n\\n = 15$

Por fim, como a taxa de juros é anual, a medida de tempo será em anos.

Portanto, um capital deve ficar por 15 anos, em um fundo de investimentos, a uma taxa de 5% de juros compostos, ao ano, para que ocorra a duplicação do seu valor.