Question

Determine a transformação linear: T(5, 2, 4).
Calcule a expressão :
A tarefa abaixo em anexo.

Answer 1

Boa noite!

I)
Sabe-se que:
$\vec{u}=(3,12,6)$

Sabe-se também que:
$\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}+c\vec{x}$
E:
$\vec{v}=(1,2,4)\\\vec{w}=(3,-1,3)\\\vec{x}=(-2,1,-5)$

Vamos resolver:
$a\vec{v}+b\vec{w}+c\vec{x}=\vec{u}\\ a(1,2,4)+b(3,-1,3)+c(-2,1,-5)=(3,12,6)\\ (a+3b-2c,\,2a-b+c,\,4a+3b-5c)=(3,12,6)\\ \left\{\begin{matrix}a+3b-2c=3\\2a-b+c=12\\4a+3b-5c=6\end{matrix}$

Usando qualquer dos processos para resolver o sistema linear, iremos obter:
$a=5\\b=2\\c=4$

II)
Primeiramente temos que encontrar a função de transformação linear.
T(x,y,z)=?

Inicialmente temos:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)

Fazendo a transformação linear:
T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)
T(x,y,z)=x(1,1,1)+y(0,1,0)+z(0,0,-1)
T(x,y,z)=(x,x+y,x-z)

Calculando o que se pede:
T(5,2,4)=(5,5+2,5-4)=(5,7,1)

III)
$3\vec{v}+2\vec{w}-\vec{x}\\3(1,2,4)+2(3,-1,3)-(-2,1,-5)\\(3,6,12)+(6,-2,6)+(2,-1,5)\\(3+6+2,6-2-1,12+6+5)=(11,3,23)$

Espero ter ajudado!