Question

7. (2,0) Encontre as soluções das equações biquadradas: a) x4 + 2x² - 15 = 0
b) x4 – 5x + 4 = 0

Answer 1

A) (x^)^+2x^-15=0

x^=y

y^+2y-15=0

a = 1
b = 2
c = - 15

Delta = b^-4.a.c
Delta = 2^-4.1.(-15)
Delta = 4+60
Delta = 64

y' = - 2 + 8 / 2.1
y' = 6 / 2
y' = 3

y" = - 2 - 8 / 2.1
y" = -10/2
y" = -5

Voltamos à incógnita x:

x^ = y'
x^ = 3
\x^ = \3
x = + \3 ou - \3

x^ = y"
x^ = - 5
\x^ = \-5
x = Não possui raiz quadrada no conjunto dos números reais.

Por fim:

S = { + \3 ou - \3}

B) (x^)^ - 5x^ +4 = 0

x^=y

y^ - 5y + 4 = 0

Delta = b^-4.a.c
Delta = (-5)^-4.1.4
Delta = 25-16
Delta = 9

y' = - (-5) + 3 / 2.1
y' = 5+3 / 2.1
y' = 8 / 2
y' = 4

y" = - (-5) - 3 / 2.1
y" = 5-3 / 2.1
y" = 2/2
y" = 1

Voltamos à incógnita x:

x^ = y'
x^ = 4
\x^ = \4
x = 2 ou -2

x^ = y"
x^ = 1
\x^ = \1
x = 1 ou - 1

Por fim:

S = { 2 ou - 2 ; 1 ou - 1 }

Obs:

Entenda \3 ; \4 e \1 como sendo raiz quadrada de 3, raiz quadrada de 4 e raiz quadrada de 1.

Answer 2

a)
x⁴ + 2x² - 15 = 0 
(x²)² + 2x² - 15 = 0

x² = y

y² + 2y - 15 = 0
a = 1; b = 2; c = - 15
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4.1.(-15)
Δ = 4 + 4.15
Δ = 4 + 60
Δ = 64

y = - b +/- √Δ     =  - 2 +/- √64
      ---------------      ----------------- 
            2a                     2.1

y = (- 2 + 8)/2 = 6/2 = 3

y = ( - 2 - 8)/2 = - 10/2 = - 5

y = - 5
x² = y
x² = - 5
x = √-5 (não há solução para os Números Reais)

y = 3
x² = y
x² = 3
x = +/- √3

R.: x = - √3 e x = √3

*************************************
b)
x⁴ - 5x² + 4 = 0

(x²)² - 5x² + 4 = 0

x² = y

y² - 5y + 4 = 0
a = 1; b = - 5; c = 4

Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4.1.4
Δ = 25 - 16
Δ = 9

y = - b +/- √Δ   =   - (-5) +/- √9
      --------------      ------------------
             2a                   2.1

y' = 5 + 3
      ----------  = 8/2 = 4
            2

y" =  5 - 3
      --------  = 2/2 = 1
           2

y = 4
x² = y
x² = 4
x = √4
x = +/- 2
x = 2 e x = - 2

y = 1
x² = y
x² = 1
x = √1
x = +/- 1

x = + 1 e x = - 1

Resp.: {-2,-1,1,2}