Question

UP/2019 - O modelo de barras é um recurso didático usado para auxiliar o desenvolvimento do cálculo mental. Esse
modelo consiste em uma barra com um número que é o resultado da soma dos números colocados sob
ele, como no seguinte exemplo:

123
50 33 40

O modelo de barras abaixo deve ser preenchido apenas com números naturais e sem a utilização do zero.

10
a b c

A quantidade de soluções possíveis para esse caso é de:
a) 72.
b) 66.
c) 64.
►d) 36.
e) 15.

Answer 1

A quantidade de soluções possíveis para esse caso é de 36.

Primeiramente, vamos calcular a quantidade de soluções para a equação a + b + c = 10, sem a restrição do uso do zero.

Para isso, utilizaremos a fórmula $Y=\frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!}$, sendo:

• n = quantidade de incógnitas
• m = termo independente.

No caso da soma a + b + c = 10, temos que:

• n = 3
• m = 10.

Então, o total de soluções inteiras não negativas é igual a:

$Y=\frac{(3+10-1)!}{10!(3-1)!}$

Y = 66.

Agora, vamos verificar os casos em que o zero aparece 1 vez e 2 vezes.

O zero aparece 1 vez em 27 casos: (0,1,9)(1,0,9)(1,9,0)(2,0,8)(8,0,2) etc.

O zero aparece 2 vezes em 3 casos: (0,0,10)(0,10,0)(10,0,0).

Portanto, o total de soluções é igual a 66 - 27 - 3 = 36.

Alternativa correta: letra d).