Question

Uma esfera não-condutora de raio 6,00 cm tem uma densidade superficial uniforme de carga de 9,00 C/m2. (Adote Ɛ0 = 8,85x10-12 N.m2/C2) a) Qual é a carga total na esfera

Answer 1

Integrando a densidade de carga ao longo da superfície, temos que a carga total desta esfera é de 1296π Coulomb.

Explicação:

Para sabermos a carga total desta esfera, basta integrarmos ela ao longo de sua superfície:

$dQ=\rho.dA$

Integrando na área desejada:

$Q=\int_{A}\rho.dA$

Agora como esta área é uma superfície, então temos que substituir dA pelas coordenadas mais apropriadas e neste caso seria coordenadas esféricas, que não dependem do raio:

$Q=\int_{A}\rho.dA$

$Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{pi}\rho.r^2.sen(\theta).d\theta d\phi$

Como o raio e a densidade são constantes, podemos substituir e retirar da integral:

$Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}9.6^2.sen(\theta).d\theta d\phi$

$Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}9.36.sen(\theta).d\theta d\phi$

$Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}324.sen(\theta).d\theta d\phi$

$Q=324.\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}sen(\theta).d\theta d\phi$

Agora tudo que resta da integral, é a integral dos ângulos, que por simples integração trivial temos que é:

$Q=324.\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}sen(\theta).d\theta d\phi$

$Q=324.4\pi$

$Q=1296\pi$

Assim temos que a carga total desta esfera é de 1296π Coulomb.