Question

Uma equação diferencial de primeira ordem geral pode ser resolvida por integração direta? sob quais condições isso pode ser feito?.

Answer 1

É possível resolver uma equação diferencial de primeira ordem caso seu termo com variável sem derivada seja nulo.

Equação diferencial de primeira ordem

Uma equação diferencial, na matemática, é uma equação na qual há derivadas da função a qual se quer encontrar a resposta. Para uma equação diferencial, tem-se a seguinte expressão matemática genérica:

$\boxed{a(x)y'+b(x)y=c(x)}$

Onde toda a expressão pode ser dividida por a(x), portanto:

N(x)=b(x)/a(x) e M(x)=c(x)/a(x)

$y'+M(x)y=N(x)$

Agora, para que a equação diferencial possa ser resolvida por uma integração direta, o termo do meio não deve existir, então: M(x)=0

$y'=N(x)$

Então, abrindo o diferencial, temos:

$\frac{dy}{dx}=N(x)\\\\dy=N(x)dx$

Integrando em ambos lados da equação:

$\int dy=\int N(x)\\\\\boxed{y(x)=\int N(x) dx+C}$

Portanto, é possível resolver uma equação diferencial de primeira ordem com integração direta caso o termo em M(x) seja nulo.

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