Question

Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I, II e III, nas figuras a seguir.

Admita que:
• as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a 2√3 decímetros;
• durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro.

Answer 1

O caminho percorrido pelo centro F equivale a um conjunto de pontos nos quais a distância aos lados AB e BC e ao vértice C, do triângulo ABC, é constante e igual ao raio r da base do cilindro.

Sabendo-se a altura, é possível calcular o lado l do triângulo equilátero ABC:
altura = $\frac{l \sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{3}$
l = 4 dm


Da mesma forma, podemos calcular o raio r da base do cilindro:
diâmetro = 2r = $2 \sqrt{3}$
r = $\sqrt{3}$ dm


No que se refere ao triângulo retângulo AF₁T₁, temos:
AT₁ = r . tg30° = $\sqrt{3}$ . $\frac{ \sqrt{3} }{3}$ = 1 dm
F₁F₂ = CT₁ = 4 - 1 = 3 dm

Assim, 
F₃F₄ = 3 dm


Vamos agora considerar o arco de circunferência:
F₂F₃∩

Seu ângulo central equivale a:
F₂∧CF₃ = α
α + 90° + 90° + 60° = 360°
α = 120°

A medida desse arco, portanto, é igual a 1/3 da circunferência
arco = $\frac{2 \pi r}{3} = \frac{2 \pi \sqrt{3} }{3} dm$


Logo, o comprimento de F1F2F3F4 corresponde a:
6 + $\frac{2 \pi \sqrt{3} }{3} =<strong> \frac{18 + 2 \pi \sqrt{3} }{3} dm$