Question

Um poliedro convexo tem 16 faces. De um de seus vértices partem cinco arestas, de cinco outros partem quatro arestas e cada um dos vértices restantes partem três arestas. Calcule o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Answer 1

$\boxed{V+F=A+2}\\\\ V+16=A+2\\\\ \boxed{A=V+14}$

$A=\frac{5*1+5*4+(V-6)*3}{2}\\\\ V+14=\frac{5+20+3V-18}{2}\\\\ 2V+28 = 25+3V-18\\\\ 3V-2V = 28-25+18\\\\ \boxed{V=21}$

$A=V+14\\\\ A=21+14\\\\ \boxed{A=35}$

Answer 2

O número de arestas e de vértices desse poliedro são, respectivamente, 35 e 21.

Se de 5 outros vértices partem quatro arestas, então temos um total de 5.4 = 20 arestas.

Como foi dito que de um dos vértices partem cinco arestas, então já usamos 6 vértices no total.

Sendo assim, de V - 6 vértices, partem 3 arestas, ou seja, temos um total de 3(V - 6) = 3V - 18 arestas.

Então, temos um total de 20 + 5 + 3V - 18 = 7 + 3V arestas.

Entretanto, cada aresta é contada duas vezes. Logo, o total de arestas é (7 + 3V)/2.

A Relação de Euler nos diz que V + F = A + 2.

Como o poliedro possui 16 faces, então:

V + 16 = (7 + 3V)/2 + 2

2V + 32 = 7 + 3V + 4

V = 21.

Portanto, o total de arestas é igual a:

A = (7 + 3.21)/2

A = (7 + 63)/2

A = 70/2

A = 35.

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