Question

Um evento cultural ofereceu três atrações ao público: uma apresentação de dança, uma sessão de cinema e uma peça de teatro. O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atrações foi de 200 pessoas. Sabe-se também, que 115 pessoas compareceram ao cinema, 95 à dança e 90 ao teatro. Além disso constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema, sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. Outra informação levantada pela organização do evento foi que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente a apresentação de dança. Se apenas 2 pessoas compareceram a todas as atrações, então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é:a)102 b)114 c)98 d)120 e)152Me ajudem a resolver essa questão, mas com o cálculo por favor. Obrigada desde já.

Answer 1

Representando o conjunto das pessoas que foram ao Cinema, ao Teatro e à Dança por C, T e D, respectivamente, temos:

U = 200
C = 115
D = 95
T = 90
n(C∩D∩T) = 2
 
40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema. Logo:
 40  · 90 = 3600 = 36
100            100

Então, 36 pessoas que foram ao teatro não foram ao cinema.

25% dessas 36 pessoas foram apenas ao teatro. Logo:
 25  · 36 = 900 = 9
100           100
Então, 9 pessoas foram apenas ao teatro. Logo:
n(T) = 9

Podemos calcular quantas pessoas foram ao teatro e à dança, subtraindo essas 9 pessoas das 36.
n(D∩T) = 36 - 9
n(D∩T ) = 27

Assim, podemos calcular quantas pessoas foram ao teatro e ao cinema.
T = n(T) + n(C∩T) + n(D∩T) + n(C∩D∩T)
90 = 9 + (C∩T) + 27 + 2
90 = (C∩T) + 38
(C∩T) = 90 - 38
(C∩T) = 52

Sabemos que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro do que assistiu só à dança. Logo:
(C∩D) + (C∩T) + (D∩T) + (C∩D∩T) = 2(D)
x + 52 + 27 + 2 = 2[95 - x - 2 - 27]
x + 81 = 190 - 2x - 4 - 54
x + 2x = 132 - 81
3x = 51
  x = 51
         3
  x = 17

n(C∩D) = 17

Pro fim, temos que calcular quantas pessoas foram apenas ao cinema e quantas oram apenas à dança (ao teatro já sabemos que é 9).
n(C) = 115 - (52 + 17 + 2)
n(C) = 115 - 71
n(C) = 44

n(D) = 95 - (27 + 17 + 2)
n(D) = 95 - 46
n(D) = 49

Pronto.
Agora é só somar.
44 + 49 + 9 = 102

Portanto, 102 pessoas assistiram somente a uma das atrações.