Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, 593...) a) Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que o dígito 3 deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez? b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito 3 aparece obrigatoriamente?
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#VESTIBULAR
Soluções para a tarefa
a) O número 3 pode aparecer na primeira engrenagem, segunda ou terceira. Vamos calcular todos os casos:
_ _ _ => os três risquinhos são nossas engrenagens, supondo que a primeira seja o 3, temos apenas uma opção de número para preenchê-la.
1. _ _ => de 0 a 9 há 10 números, sendo assim há 9 opções de números pra preencher o segundo risquinho e também 9 para o terceiro já que não há nenhuma restrição além da obrigatoriedade do 3.
1 . 9 . 9 = 81.
Se usarmos o mesmo raciocínio para fazermos os casos em que o 3 fica na segunda e terceira posição, temos:
9 . 1 . 9 = 81.
9 . 9 . 1 = 81.
A resposta será então: 81 + 81 + 81 = 243
b) Usando as mesmas ideias do exercício anterior:
_ _ _ => três pode aparecer na primeira, segunda ou terceira posição, porém para as próximas posições teremos 9 números e 8 números, já que não podemos repetir.
1 . 9 . 8 = 72
9 . 8 . 1 = 72
9 . 1 . 8 = 72
Resposta: 72x3 = 216
a) São 243 possibilidades diferentes para a escolha do segredo.
Para a resolução da questão é preciso considerar que:
3 na primeira engrenagem
9 dígitos possíveis na segunda engrenagem (visto que o dígito 3 só pode e deve aparecer uma única vez)
9 dígitos possíveis na terceira engrenagem (visto que o dígito 3 só pode e deve aparecer uma única vez)
Sendo um total de 81 combinações
Então é preciso repetir o processo com o dígito 3 na segunda e na terceira engrenagem. Dessa forma temos que:
3 x 81 = 243 combinações
b) São 216 probabilidades diferentes de escolha do segredo.
É preciso considerar que:
3 na primeira engrenagem
9 dígitos possíveis na segunda engrenagem (visto que o dígito 3 já foi usado)
8 dígitos possíveis na terceira engrenagem (visto que não pode ser igual ao da segunda)
Sendo um total de 72 combinações
É preciso repetir o processo com o dígito 3 na segunda e na terceira engrenagem. Dessa forma temos que:
3 x 72 = 216 combinações.
Bons estudos!