Question

A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

a) Temos um cone com raio da base r = 2 e altura 12. Seu volume é dado por:

$V = \dfrac{\pi.r^2.h}{3} = \dfrac{\pi.2^2.12}{3} = 16\pi$

b) A altura total é 12, porém a altura do líquido é x. Precisamos encontrar o raio da circunferência que é base do liquido em função de x, para isto faremos uma semelhança de triângulos (veja imagem)

Os triângulos são semelhantes pelo caso AA (tem 2 angulos congruentes). Queremos encontrar y em função de x.

$\dfrac{12}{x} = \dfrac{2}{y}$

$12y = 2x$

$y = \dfrac{2x}{12} = \dfrac{x}{6}$

E assim, calculamos o volume sabendo que $r = \frac{x}{6}$ e $h = x$

$V = \dfrac{\pi.(\frac{x}{6})^2.x}{3} = \dfrac{\pi.\frac{x^{3}}{36}}{3} = \dfrac{x^3\pi }{108}$