Question

A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. a) Sabendo que A = (8,4) e que r : 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

a) A área será de 30 unidades².

Como sabemos o ponto A, que a circunferência tem raio de 5 unidades e está deslocada em Cx unidades no eixo X, podemos escrever a seguinte equação da circunferência:

(x - Cx)² + y² = 5²

Substituindo o ponto A (8,4) na equação:

(8 - Cx)² + 4² = 25

8 - Cx = √9

8 - Cx = 3

Cx = 5

C = (5, 0)

Além disso, o ponto B pode ser calculado pelo encontro da reta 3y + x = 20 com o eixo x em y=0:

3*0 + Bx = 20

Bx = 20

B = (20, 0)

Logo, a área do triângulo será igual a base vezes a altura dividido por 2:

At = base*altura/2 = (20 - 5)*(4 - 0) /2 = 15*4/2 = 30 u²

b) O ponto  D estará nas coordenadas (5,5).

Igualando as equações da reta e da circunferência, temos:

3y + x = 20 → x = 20 - 3y

(x - 5)² + y² = 5²

(20 - 3y - 5)² + y² = 25

(15 - 3y)² + y² = 25

225 - 90y + 9y² +y² = 25

200 - 90y + 10y² = 0

Pela fórmula de bhaskara:

Δ = $b^{2} - 4ac$

y =$\frac{-b +- \sqrt{delta} }{2a}$

y1 = 4 → x1 = 8 (ponto A)

y2 = 5 → x2 = 5 (ponto D)

Sendo assim D estará nas coordenadas (5,5).

Espero ter ajudado!