(UFRGS 2016)Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo.O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente.Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é:A) 2.B) 3.C) 4.D) 5.E) 6.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Keylla, que a resolução parece simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que o primeiro triângulo de altura "h" tem perímetro igual a "3"; o segundo triângulo tem a metade da altura do primeiro triângulo; e terceiro triângulo tem a metade da altura do segundo triângulo, e assim sucessivamente.
Com base nessas informações, dê a soma dos perímetros da sequência infinita desses triângulos.
ii) Veja que vamos ter uma PG (progressão geométrica) que terá a seguinte conformação:
(3; 3/2; 3/4; ......) <--- Ou seja, temos uma PG infinita cujo primeiro termo é igual a "3" e cuja razão (q) é igual a "1/2".
A soma dos infinitos termos de uma PG é dada pela seguinte fórmula (chamando essa soma de um certo "k" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):
k = a₁ / (1-q)
Na fórmula acima "k" é a soma dos infinitos termos da sequência de triângulos. Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo, que substituiremos por "3". Por seu turno, "q'' é a razão da PG, que substituiremos por "1/2". Assim, fazendo as devidas substituições teremos:
k = 3 / (1-1/2) ---- note que "1-1/2 = 1/2". Assim,ficaremos com:
k = 3 / (1/2) ----- veja que temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:
k = (3/1)*(2/1) ----- efetuando este produto, teremos:
k = 3*2/1*1
k = 6/1 ---- ou apenas:
k = 6 <--- Esta é a resposta. Opção "E".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
Resposta:
1ª descida d1 = 80 ---> 1ª subida = (3/4).80 = 60
2ª descida d1 = 60 ---> 3ª subida = (3/4).60 = 45
E assim por diante. Temos duas PGs decrescentes infinitas, de razão 3/4:
1) Descida ---> Sd = 80/(1 - 3/4) = 80/(1/4) = 320 m
2) Subida ----> Ss = 60/(1 - 3/4) = 60/(1/4) = 240 m
Total ---> S = 320 + 240 ---> S = 560 m