Question

U. F. Juiz de Fora-MG) O perímetro do triângulo ABC, abaixo, é 18 cm. O perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos médios M, N c P dos lados do triânguloABCé:a) 12 cmb) 8 cmc) 15 cmd) 8 cme) 9 cm

Answer 1

Vamos usar a semelhança de triângulos.

Temos que o ponto médio divide um segmento ao meio:
AB = AM + MB
BC = BP + PC
CA = CN + NA

Temos que o segmento MP é paralelo a AC, PN é paralelo a AB e NM é paralelo a BC. Isso quer dizer que o triângulo MPN é semelhante ao triângulo ABC. Não apenas isto, mas também são semelhantes a BPM, PCN e AMN.

Podemos ver que MB = NP, MN = BP e PM = NA
Das equações acima e das 3 primeiras equações:
AB = 2MB, BC = 2BP, CA = 2PM

Somando AB+BC+CA, temos:
AB+BC+CA = 2MB+2BP+2PM= 2(MB+BP+PM)

Como AB+BC+CA é o perímetro de ABC que vale 18cm, MB+BP+PM é perímetro de MNP, portanto:
18 = 2(MB+BP+PM)
MB+BP+PM = 9cm

Resposta: E