Question

Calcule a medida do ângulo formado pela altura e pela mediana relativas à hipotenusa de um triângulo retângulo que possui um ângulo interno de 20°.

Answer 1

Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma circunferência, de modo que sua hipotenusa coincida com o diâmetro da circunferência.

Veja a imagem em anexo. Observe que os ângulos $\text{A}\hat{\text{M}}\text{B}$ e $\text{A}\hat{\text{C}}\text{B}$ enxergam o mesmo arco $\arco{\text{AB}}$, sendo o primeiro ângulo central e o segundo ângulo inscrito.

Lembre-se que o ângulo central é igual ao dobro do ângulo inscrito. Como $\text{A}\hat{\text{C}}\text{B}=20^{\circ}$, podemos afirmar que $\text{A}\hat{\text{M}}\text{B}=2\cdot20^{\circ}=40^{\circ}$

Como o triângulo $\text{AHM}$ é retângulo seus ângulos agudos são complementares.

Assim:

$\text{H}\hat{\text{A}}\text{M}+40^{\circ}=90^{\circ}~\longrightarrow~\text{H}\hat{\text{A}}\text{M}=90^{\circ}-40^{\circ}~\longrightarrow~\boxed{\text{H}\hat{\text{A}}\text{M}=50^{\circ}}}$