Question

seja o espaço vetorial V = R^2 e W {(x,y) E R^2/y = 3x}. verificar se W é um subespaço vetorial de V.

Answer 1

Olá!

Seja um espaço vetorial V. Um subconjunto W será um subespaço vetorial de V se:

i) 0 ∈ V (0 é o vetor nulo);

ii) Para quaisquer u,v ∈ W, tivermos u + v ∈ w;

iii) Para quaisquer α ∈ R e u ∈ W, tivermos αu ∈ W.

Verifiquemos essas condições para os conjuntos dados.

i) O vetor nulo de W é (0,0). Observe que:

$0=3.0=0$

Logo, (0, 0) ∈ W.

ii) Sejam u = (x₁, y₁) e v = (x₂, y₂) ∈ W. Temos que:

u + v = ( x₁ + x₂, y₁ + y₂).

Como u, v ∈ W, segue que;

y₁ = 3x₁ e y₂ = 3x₂.

Daí,

3(x₁ + x₂) = 3x₁ + 3x₂ = y₁ + y₂.

Logo, u + v ∈ W.

iii) Sejam α ∈ R e u = (x₁, y₁) ∈ W.

Temos que:

αu = α(x₁, y₁)

Como u ∈ W, vale que:

y₁ = 3x₁.

Daí,

αu = α(x₁, 3x₁) = (αx₁, α3x₁) = (αx₁, 3αx₁).

Ou seja, αu ∈ W.

Note que todas as condições foram satisfeitas. Dessa forma, W é um subespaço vetorial de V.