Question

Seja B = (i, j, k) uma base ortonormal e considere os vetores u = (1,1,0), v = (1,2,0), w = (0,2,1) e e = (1,1,1). (a) Verifique que E = (u,v,w) é base. (b) Expresse e em relação à base E.

Answer 1

(a) Para mostrarmos que E é base, basta provarmos que u, v e w são LI, já que estamos trabalhando no $\mathbb{R}^3$, um espaço de dimensão 3. Assim, tomemos uma combinação linear de u, v e w que seja nula (coeficientes a, b e c reais):

$au+bv+cw=0 \Longrightarrow a(1,1,0)+b(1,2,0)+c(0,2,1)=(0,0,0)\iff\\\\ (a+b,a+2b+2c,c)=(0,0,0)\to c=0\\\\ \Longrightarrow (a+b,a+2b,0)=(0,0,0)\iff\begin{cases}a+b=0~(i)\\a+2b=0 ~(ii)\end{cases}$

Fazendo a operação (ii)-(i), chegamos a:
$b=0\Longrightarrow a+b=a+0\Longrightarrow a=0$

Assim, se uma combinação linear de u, v e w é nula, então os coeficientes são todos nulos. Logo, são LI. Portanto, E é base. •

(b) Para escrever e em relação à nova base (considere a, b e c coeficientes reais):

$e=au+bv+cw\Longrightarrow (1,1,1)=a(1,1,0)+b(1,2,0)+c(0,2,1)\iff\\\\ (1,1,1)=(a+b,a+2b+2c,c)\to \boxed{c=1}\\\\ (1,1,1)=(a+b,a+2b+2,1)\iff\begin{cases}a+b=1\\a+2b+2=1\end{cases}\\\\ \begin{cases}a+b=1~(i)\\a+2b=-1~(ii)\end{cases}$

Subtraindo linha (i) da linha (ii), obtemos:

$(a+2b)-(a+b)=(-1)-(1)\iff \boxed{b=-2}\\\\ a+b=1\Longrightarrow a+(-2)=1\iff \boxed{a=3}$

Com isso, concluímos que $e$ relação à base $E$ é $(3,-2,1)$.