Question

Sejam m e n números reais, ambos diferentes de zero. Se
m e n são soluções da equação polinomial x2 + mx + n = 0,
na incógnita x, então, m – n é igual a:
A)-3
B)-2
C)1
D)2
E)3

Bom pessoal, eu já encontrei a resolução desta questão na internet porém não consigo entender de forma alguma. Gostaria que alguém explicasse detalhadamente passo a passo para que eu pudesse entender. Desde já obrigado!

Answer 1

A equação do segundo grau pode ser escrita como x² + Sx + P = 0

x²+mx+n=0

Onde S é a soma das raízes com o sinal trocado e
P é o produto das raízes

Como m e n são soluções da equação, elas são as raízes.

Logo temos
m . n = n   (I)
m + n = -m  (II)

De (I) temos

m = n/n
m=1

De (II) temos
n = -2m substituindo m=1
n = -2. 1
n = -2

Cálculo de m-n

m-n = 1 - (- 2)
m-n = 1 + 2
m-n = 3

Alternativa "E"

Answer 2

$x^2+mx+n=0$

Se tu não sabe vou te dizer, quando você acha as raízes ou soluções das raízes você deve substituir onde se tem x na própria equação. E na própria questão fala que elas são raízes (soluções) então onde tivermos x vamos substituir primeiro por m e depois por n e logo a gente iguala as duas. 

Para X'= m

$x^2+mx+n=0$

$m^2+m.m+n=0$

m²+m²+n = 0

2m²=-n ou 
n=-2m²

Para X''=n

$n^2+mn+n=0$
n²+mn+n=0

n(n+m+1)=0
n=0 (esse zero eu não vou utilizar por por que n tem que ser igual alguma coisa)
n=-m-1
...Ai eu te pergunto, posso afirmar que:
n=n? claro que é né! 

se tenho 
n=-2m²
n=-m-1 
e ainda afirmo que n=n 
posso dizer então que:
n=n
-2m²=-m-1 confere? 
-2m²+m+1=0 .(-1)
2m²-m-1=0
aplicando Bhaskara 
Δ=1²-4.2.-1
Δ=9
m=(1+-√9)/2.2
m'=(1+3)/4 = 1
m''=(1-3)/4 = -1/2
agora vou pegar o n que eu tinha pra colocar os valores de m. 
n=-2m²
n=-m-1  posso usar qualquer uma das duas 
vou pegar a de baixo.

p/ m=1
n=-m-1
n=-1-1
n=-2 

p/ m=-1/2
n=-m-1
n=-(-1/2)-1
n=(1/2)-1
n=-1/2 opa, pra essa m=n, no caso a subtração de dois números iguais é 0. e eu não tenho 0 no gabarito. 
∴m=1 e n=-2
m-n =
=1-(-2)
=1+2
∴=3

LETRA E"

Que também pode ser feita pela relação soma e produto
m.n=n
m+n=m