Question

Se uma lata fechada com volume 16*pi cm³ deve ter a forma de um cilindro reto, determine a altura e o raio, se um mínimo de material deve ser utilizado em sua fabricação.

Answer 1

Volume do cilindro:

V = π.r².h
16π = π.r².h
16 = π.r².h/π
16 = r².h
h = 16/r²


Área total do cilindro:

At = Al + 2Ab

Onde:

Al = Área lateral
Ab = Área da base (círculo)

At = 2.π.r.h + 2.π.r²

At = 2.π.r.(16/r²) + 2.π.r²
At = 32.π.1/r + 2.π.r²


Área total mínima:

Derivando

At' = 32π.(0.r - 1.1)/r² + 4π.r = 0

32π.(-1)/r² + 4π.r = 0

32π.(-1)/r² + 4π.r = 0

-32π/r² + 4π.r = 0

MMC:

(-32π + 4π.r³ = 0)/r²

-32π + 4π.r³ = 0

32π = 4π.r³

r³ = 32π/4π

r³ = 8

r = $\sqrt[3]{8}$

r = 2 cm


Encontrando a altura:

V = π.r².h
16π = π.(2)².h
16π = π.4.h
h = 16π/4π
h = 4 cm


Portanto, o cilindro deve ter altura igual a 4 cm e raio igual a 2 cm.