Question

Se a² + b² = 8, calcule o valor máximo de P = a + b.

Answer 1

Olá colega :)

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➢ Casos notáveis

$\boxed{\boxed{\mathsf{a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab}}}}$

Questão:

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Se a² + b² = 8

, calcule o valor máximo de P = a + b

_________________________________________________

Explicação passo-a-passo:

Observe que, os números reiais a e b, independente do sinal, teremos sempre a igualdade indicada, o mesmo acontecerá se o um dos números for negativo, destarte (sem nenhum problema) podemos adoptar que os números a e b são positivos.

✩ Desigualdade das médias

• A média de quaisqueres números reais a e b positivos é sempre igual a média geométrica, matematicamente,

$\mathsf{\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}~~~~,com~~a>0~~e~~b >0}$

Deste modo, podemos elevar a toda a inequação ao quadrado (para a simplificação do radical), matematicamente,

$\mathsf{\dfrac{a^2 +2ab+b^2}{4} \ge ab}$

$\mathsf{\green{a^2+b^2}+ 2ab \ge 4ab~~~,como \green{a^2 + b^2} = 8}$

$\mathsf{8+2ab \ge 4ab}$

$\mathsf{4 + ab \red{-ab} \ge 2ab \red{-ab}}$

$\mathsf{ab \le 4}$

Observe que o produto a e b são todos os números positivo menores ou iguais a quatro, deste modo,

$\mathsf{(a+ b)^2-2\cdot 4 = 8}$

$\mathsf{(\green{a+b})^2 = 8+8}$

$\mathsf{\green{a+b} = \sqrt{16}}$

,como $\mathsf{\green{a+b} = P}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{P = 4}} }} \end{array}\qquad\checkmark$

Espero ter colaborado!

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Óptimos estudos :)

Answer 2

Resposta: máx(P) = máx(a + b) = 4 (quatro)

Explicação passo-a-passo:

Supondo a e b dois números reais quaisquer, temos a possibilidade de ambos serem negativos, ambos positivos, um deles negativo e o outro positivo, ou ainda um nulo e o outro negativo ou positivo. Caso sejam ambos negativos, ao elevá-los ao quadrado, temos os mesmos resultados dos quadrados de seus respectivos simétricos, e o mesmo ocorre quando um é negativo e o outro positivo, ou quando um é zero e o outro não nulo (positivo ou negativo). Perceba que, neste caso, trabalhar com negativos equivale a operar com valores maiores que zero. Também sabemos que os valores positivos são os que resultam em uma maior soma, com isso assumiremos, sem problema algum, que a e b são números positivos. Existe uma famosa desigualdade da Aritmética, chamada Desigualdade das Médias. Tal desigualdade afirma que a Média Aritmética MA dos números reais positivos a e b é sempre maior ou igual à Média Geométrica MG deles. Logo:

(a + b)/2 >= raiz de(ab), com a > 0 e b > 0 =>

(a + b)²/2² >= ab =>

(a + b)²/4 >= ab =>

(a + b)² >= 4ab =>

a² + b² + 2ab >= 4ab e a² + b² = 8 =>

8 + 2ab >= 4ab =>

8 + 2ab - 2ab >= 4ab - 2ab =>

8 >= 2ab =>

2ab <= 8 (i)

O enunciado nos informa que a² + b² = 8 (ii). Reescrevendo (ii), ficaremos com:

a² + b² = 8 =>

(a + b)² - 2ab = 8 =>

(a + b)² + 2ab - 2ab = 8 + 2ab =>

(a + b)² = 8 + 2ab (iii)

No lado direito da expressão (iii), temos uma soma de dois termos positivos (8 > 0 e 2ab > 0), que assumirá o maior valor possível para 2ab sendo o maior valor possível. De (i), temos que 2ab é menor ou igual a 8, logo o maior valor que 2ab pode assumir é o próprio número 8. Portanto, a expressão (iii) torna-se:

(a + b)² = 8 + 8

Assim sendo, o seu valor máximo é dado por:

máx{(a + b)²} = 8 + 8 =>

máx{(a + b)²} = 16 =>

máx{(a + b)²} = 4² e a + b > 0 =>

máx(a + b) = máx(P) = 4

Abraços!