Question

Encontrar a reta m’ simétrica de m:

{x = -6t
{y = 1+9t
{z =-3t

em relação a reta n:

{x = 1+2s
{y = 4-3s
{z = s

Observação: já constatei que essas retas são paralelas.

Answer 1

Resposta: m’:

x = 4 + 2k, k é real

y = 4 - 3k, k é real

z = 1 + k, k é real

Explicação passo-a-passo:

Oii!! Esse problema é um pouquinho mais fácil que o proposto anteriormente. Segue a resolução dele:

Os vetores diretores das retas m e n são dados por u = (- 6, 9, - 3) e v = (2, - 3, 1), respectivamente. É claramente perceptível que os vetores u e v são paralelos, pois (- 6, 9, - 3) = (- 3)(2, - 3, 1), ou seja, um é múltiplo escalar do outro. Vamos encontrar as equações paramétricas da reta m’, simétrica de m em relação a reta n. Por simetria, a reta m’ é paralela a m, com isso também será a n. Pela transitividade do paralelismo entre as retas, o vetor v = (2, - 3, 1) é diretor de m’, logo, basta determinarmos um ponto qualquer dela e teremos suas equações paramétricas. Também por simetria, pegaremos um ponto arbitrário M de n e outro A em m e construiremos um vetor w com extremidades nesses pontos e, assim como na outra questão, forçaremos que ele seja ortogonal ao vetor diretor v = (2, - 3, 1) da reta n (pela transitividade, também será a m e m’). Um ponto qualquer (arbitrário) da reta n é dado por M = (1 + 2s, 4 - 3s, s) e de m é A = (- 6t, 1 + 9t, - 3t); onde s e t são números reais. A partir dos pontos A e M, temos o vetor w = AM = [(1 + 2s) - (- 6t), (4 - 3s) - (1 + 9t), s - (- 3t)] = (1 + 2s + 6t, 4 - 3s - 1 - 9t, s + 3t) = (2s + 6t + 1, 3 - 3s - 9t, s + 3t). Logo, forçaremos os vetores w e v a serem ortogonais. Portanto, obteremos:

w • v = 0  =>

(2s + 6t + 1, 3 - 3s - 9t, s + 3t) • (2, - 3, 1) = 0  =>

2(2s + 6t + 1) + (- 3)(3 - 3s - 9t) + s + 3t = 0  =>

4s + 12t + 2 - 9 + 9s + 27t + s + 3t = 0  =>

14s + 42t - 7 = 0  =>

14s + 42t = 7  =>

7(2s + 6t) = 7  =>

2s + 6t = 1  (i)

Temos, de (i), que os vetores w e v são ortogonais quando 2s + 6t = 1; s e t são os parâmetros reais das equações paramétricas de n e m, respectivamente. Em (i), fazendo t = 0, temos s = 1/2. Com isso, os pontos A e M serão:

A = (- 6t, 1 + 9t, - 3t)  e  t = 0  =>

A = (0, 1, 0)

e

M = (1 + 2s, 4 - 3s, s)  e  s = 1/2  =>

M = (2, 5/2, 1/2)

Como a simetria é em relação à reta n, temos que o ponto M = (2, 5/2, 1/2) de n é ponto médio do segmento AB, estando o ponto A = (0, 1, 0) em m e B = (a, b, c) em m’. O ponto B é calculado da seguinte forma:

M = (2, 5/2, 1/2) é Ponto Médio de AB  =>

[(a + 0)/2, (b + 1)/2, (c + 0)/2] = (2, 5/2, 1/2)  =>

a/2 = 2  =>  a = 4

e

(b + 1)/2 = 5/2  =>  b = 4

e

c/2 = 1/2  =>  c = 1

Portanto, o ponto B é B = (4, 4, 1) e as equações paramétricas de m’ são:

m’:

x = 4 + 2k, k é real

y = 4 - 3k, k é real

z = 1 + k, k é real

Abraços!