Question

Sabendo que A(x) = n + mx

Answer 1

A(x) é de grau 3 e é divisível por B(x)  que é de grau 2, então ao fazer a divisão de A(x) por B(x) o quociente será de grau 1, algo do tipo :

$\displaystyle \sf \frac{A(x)}{B(x)} = (ax+b) \\\\\\ A(x) = B(x)\cdot(ax+b) \\\\ n+mx-17x^2-2x^3=(1-5x-2x^2)(ax+b) \\\\ n+mx-17x^2-2x^3=ax+b-5ax^2-5bx-2ax^3-2bx^2 \\\\ n+mx-17x^2-2x^3=b+(a-5b)x-(5a+2b)x^2-2ax^3$

Para que ocorra a igualdade dos polinomios os seus coeficientes devem ser iguais, ou seja :

$\sf -2ax^3=-2x^3 \to \boxed{\sf a=1 } \\\\ -(5a+2b)x^2 = -17x^2 \to 5.1+2b=17 \to 2b=12 \to \boxed{\sf b = 6 } \\\\ \underline{Da{\'i}}} : \\\\ n+mx-17x^2-2x^3=(1-5x-2x^2)(x+6) \\\\ \underline{Fazendo\ x = 1}} : \\\\ n+m.1-17.1^2-2.1^3=(1-5.1-2.1^2)(1+6)\\\\\ n+m-17-2 = (-6)(7) \\\\ m+n -19 = -42 \\\\ m+n =-42+19 \\\\ \huge\boxed{\sf m+n = -23}\checkmark$