Question

resolva a seguinte inequaçao -6 < x2 - 5x < 6

Answer 1

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Resolver a dupla desigualdade:

$\mathsf{-6<x^2-5x<6}$


Vou resolver usando completamento de quadrados. Multiplique todos os membros por 4:

$\mathsf{4\cdot (-6)<4\cdot (x^2-5x)<4\cdot 6}\\\\ \mathsf{-24<4x^2-20x<24}\\\\ \mathsf{-24<4x^2-2\cdot 2x\cdot 5<24}$


Para completar o quadrado, some $\mathsf{5^2}$ a todos os membros:

$\mathsf{-24+5^2<4x^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2<24+5^2}\\\\ \mathsf{-24+25<(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2<24+25}\\\\ \mathsf{1<(2x-5)^2<49}$


A desigualdade acima só envolve termos positivos, portanto o sentido da desigualdade se mantém para as raízes quadradas dos membros:

$\mathsf{\sqrt{1}<\sqrt{(2x-5)^2}<\sqrt{49}}\\\\ \mathsf{1<\big|2x-5\big|<7}$


Agora simplificou um pouco mais, porque temos uma dupla desigualdade envolvendo módulo.


•   $\mathsf{1<\big|2x-5\big|\qquad\quad(i)}:$

$\mathsf{\big|2x-5\big|>1}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{2x-5<-1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2x-5>1}\\\\ \mathsf{2x<-1+5}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2x>1+5}\\\\ \mathsf{2x<4}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2x>6}\\\\ \mathsf{x<\dfrac{4}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x>\dfrac{6}{2}}\\\\\\ \mathsf{x<2}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x>3} \end{array}$


A solução para a desigualdade $\mathsf{(i)}$ é

$\mathsf{S_{(i)}\qquad\overset{~~******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\textsf{---------------}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{******~~}{\textsf{---------}}\footnotesize\begin{array}{c}\!\!\!\!\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{S_{(i)}=\left]-\infty,\,2\right[\,\cup\,\left]3,\,+\infty\right[.}$


•   $\mathsf{\big|2x-5\big|<7\qquad\quad(ii)}:$

$\mathsf{-7<2x-5<7}\\\\ \mathsf{5-7<2x<5+7}\\\\ \mathsf{-2<2x<12}\\\\ \mathsf{\dfrac{-2}{2}<x<\dfrac{12}{2}}\\\\\\ \mathsf{-1<x<6}$


A solução para a desigualdade $\mathsf{(ii)}$ é

$\mathsf{S_{(ii)}\qquad\textsf{---------}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{************}{\textsf{---------------}}\!\!\underset{6}{\circ}\!\!\textsf{---------}\footnotesize\begin{array}{c}\!\!\!\!\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{S_{(ii)}=\left]-1,\,6\right[.}$

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A solução da dupla desigualdade é a interseção entre $\mathsf{S_{(i)}}$ e $\mathsf{S_{(ii)}}:$

$\begin{array}{cc} \mathsf{S_{(i)}}&\qquad\mathsf{\overset{~~~*******}{\textsf{------------}}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\textsf{---------}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{6}{\circ}\!\!\overset{*******~~~~}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{S_{(ii)}}&\qquad\mathsf{\textsf{------------}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{6}{\circ}\!\!\textsf{------------}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{S_{(i)}\cap S_{(ii)}}&\qquad\mathsf{\textsf{------------}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\textsf{---------}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{*******}{\textsf{---------}}\!\!\underset{6}{\circ}\!\!\textsf{------------}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


A solução da dupla desigualdade dada é

$\mathsf{S=\left]-1,\,2 \right[\,\cup\,\left]3,\,6\right[.}$


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