Question

resolva a desigualdade 2 sen^2(x) + 7 sen(x) + 3 <= 0 ?

Answer 1

Olá, Bixo.

 

$2\text{sen}^2(x)+7\text{sen }x+3\leq 0$

 

Façamos a seguinte mudança de variável, de forma a facilitar a solução:

 

$<var>\text{sen }x=y\Rightarrow2y^2+7y+3\leq 0</var>$

 

O polinômio $2y^2+7y+3$ possui duas raízes, pela Fórmula de Bhaskara:

 

$\boxed{y_1=-\frac{1}{2}\text{ e }y_2=-3}$

 

Como este polinômio é uma parábola com a concavidade para cima, uma vez que o termo que acompanha  $<var>y</var>$  é positivo, então, entre as raízes temos:

 

 $2y^2+7y+3\leq0 \Rightarrow -3 \leq y \leq -\frac12\Rightarrow-3\leq \text{sen }x \leq -\frac12$

 

Como a função sen(x) possui domínio limitado ao intervalo [-1,1], então devemos ter:

 

$-1\leq \text{sen }x \leq -\frac12\Rightarrow \text{arcsen }(-1)\leq x\leq\text{arcsen }(-\frac12)$

 

$\therefore \frac{3\pi}2 \leq x \leq \frac{11\pi}6\text{ ou }\frac{7\pi}6 \leq x \leq \frac{3\pi}2 \Rightarrow\boxed{\frac{7\pi}6 \leq x \leq\frac{11\pi}6}$

 

Lembrando que:

 

$<var>\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi 6\text{ e }\frac{11\pi}6=2\pi-\frac\pi 6</var>$

 

Veja o gráfico que juntei em anexo, para auxiliar no entendimento.