Question

Resolva (7+4raiz(3))^x-3(2-raiz(3))^x+2=0

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta equação exponencial, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas.

Seja a equação exponencial: $(7+4\sqrt{3})^x -3(2-\sqrt{3})^x+2=0$.

Observe que $7 + 4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$ e $2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Assim, reescrevemos a equação como:

$(2+\sqrt{3})^{2x}-3\left(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^x+2=0$

Substituindo $t=(2+\sqrt{3})^x$, temos:

$t^2-\dfrac{3}{t}+2=0$

Multiplique ambos os lados da equação por $t$, sabendo que $t>0$.

$t^3-3+2t=0$

Para resolvermos esta equação cúbica, utilizamos o método de completar quadrados.

Some $-t^2+t$ em ambos os lados da equação e reorganize os termos

$t^3-t^2+2t + t - 3 = -t^2+t\\\\\\ t^3-t^2+3t-3=-t^2+t$

Fatore os termos

$t^2(t-1)+3(t-1)=-t(t-1)\\\\\ (t^2+t+3)(t-1)=0$

Sabendo que um produto é igual a zero se ao menos um de seus fatores é igual a zero, temos:

$t^2+t +3=0~~\bold{ou}~~t-1=0$

Resolvendo a equação, temos:

$t=\dfrac{1-i\sqrt{11}}{2}~~\bold{ou}~~t=\dfrac{1+i\sqrt{11}}{2}~~\bold{ou}~~t=1$

Neste caso, assumimos a solução como a única raiz real desta equação, $t=1$.

Desfazendo a substituição, temos:

$(2+\sqrt{3})^x=1$

Calculamos o logaritmo de base $2+\sqrt{3}$ em ambos os lados da equação

$\log_{2+\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^x=\log_{2+\sqrt{3}}1\\\\\\ x = 0$

Esta é a solução desta equação exponencial.

Seu conjunto solução é:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=0\}}}$