Question

Questão básica sobre limites.

Answer 1

Se multiplicar o numerador e denominador pelo conjugado  ou substituir  por 4 vai dar indeterminação , então usando a regra de l'hopital

Deriva em cima deriva em baixo

$\lim_{x \to 4} \frac{ \sqrt{1+2x}-3 }{ \sqrt{x}-2 } = \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{1+2x} } }{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } } = \frac{2 \sqrt{x} }{ \sqrt{1+2x} }$

$\boxed{\lim_{x \to 4} \frac{2 \sqrt{x} }{ \sqrt{1+2x} } = \frac{2 \sqrt{4} }{ \sqrt{1+2.4} }= \frac{4}{3} }$

Answer 2

Outra maneira ....

$\lim_{x \to 4} \frac{ \sqrt{1+ 2x } - 3 }{ \sqrt{x} -2} . \frac{( \sqrt{1+ 2x } + 3)}{( \sqrt{1+ 2x } + 3} )$


$\lim_{x \to 4} \frac{1+2x-9}{( \sqrt{x} -2). ( \sqrt{1+ 2x } + 3 )}$

$\lim_{x \to 4} \frac{2x-8}{( \sqrt{x} -2). ( \sqrt{1+ 2x } + 3 )} . \frac{(\sqrt{x} +2)}{(\sqrt{x} +2)}$

$\lim_{x \to 4} \frac{2(x - 4) . ( \sqrt{x} +2)}{(x - 4). \sqrt{1+ 2x } + 3}$

$\lim_{x \to 4} \frac{2 ( \sqrt{x} +2)}{ \sqrt{1+ 2x } + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$