Question

qual é o ponto de inflexão do gráfico da função f(x)=x^3-6x^2

Answer 1

) g(x) = x²(6 - x)³ 

Derivando uma vez: 
g'(x) = 2x (6-x)³ + 3x² (6-x)² (-1) = 2x (6-x)³ - 3x² (6-x)² 

Derivando pela segunda vez: 
g"(x) = 2 (6-x)³ + 2x * 3 * (6-x)² (-1) - 6x (6-x)² - 3x² * 2 (6-x) (-1) 
g"(x) = 2 (6-x)³ - 6x (6-x)² - 6x (6-x)² + 6x² (6-x) = 2 (6-x)³ - 12x (6-x)² + 6x² (6-x) 

Cálculo da inflexão, g"(x) = 0 
2 (6-x)³ - 12x (6-x)² + 6x² (6-x) = 0 
(6-x)³ - 6x (6-x)² + 3x² (6-x) = 0 
(6-x) [(6-x)² - 6x (6-x) + 3x²] = 0 
Então: 
1) 6-x=0; x=6 
2) (6-x)² - 6x (6-x) + 3x² = 0 
36 + x² -12x - 36x + 6x² + 3x² = 0 
10x² - 48x + 36 = 0 
5x² - 24x + 18 = 0 
usando Baskara: 
delta = b² - 4ac = 24² - 4*5*18 = 576 - 360 = 216 
raiz(delta) = raiz(216) = raiz(2³ 3³) = 2*3 raiz(2*3) = 6 * raiz(6) 
x = [-b ± raiz(delta)] / [2a] 
x = [24 ± 6raiz(6)] / [2*5] = [24 ± 6*raiz(6)] / 10 = 6 * [4 ± raiz(6)]/10 
x = (3/5) * [4 ± raiz(6)] 

Os pontos de inflexão são: 
i1 = 3/5 * (4 - raiz(6)) 
i2= 3/5 * (4 + raiz(6)) 
i3= 6