Question

Prove que três números reais distintos não podem estar simultaneamente em progressão aritmética e geométrica.

Answer 1

=> Vamos considerar 3 números CONSECUTIVOS:

--> X

--> X + 1

--> X + 2

..3 números consecutivos estão em P.A: de razão = 1

Vamos ver se é possível estarem também em P.G.

..Sabemos que em PG o produto dos termos equidistantes´...é constante, assim

Numa PG (A,B,C,D,E,F,G) teríamos:

A.G = B.F = C.E = D.D = D²

Numa PG (A,B,C) teríamos

A.C = B.B = B²

Vamos agora ver se no caso da nossa sequencia (X), (X + 1), (X + 2) isso se verifica

teríamos:

(X) . (X + 2) = (X + 1)²

desenvolvendo:

X² + 2X = X² + 2X + 1

...como X² + 2X ≠ X² + 2X + 1

então ...se (X), (X + 1) e (X + 2) estão em PA ..NÃO PODEM estar simultaneamente em PG.

=> Vamos agora ver se isto é verdade para 3 números NÃO CONSECUTIVOS

--> X

--> X + Y    ......Y ∈ R e Y ≠ 0

--> X + Y + Y ..ou X + 2Y  ...Y ∈ R e Y ≠ 0

Assim os números (X), (X + Y) e (X + 2Y) estão em PA ...vamos ver se podem estar em PG

Numa PG teríamos que

(X) . (X + 2Y) = (X + Y)²

desenvolvendo:

X² + 2YX = X² + 2XY + Y²

como

X² + 2YX ≠ X² + 2XY + Y²

então se (X), (X + Y) e (X + 2Y) estão em PA ..NÃO PODEM estar simultaneamente em PG

Espero ter ajudado