Question

PERGUNTA 1

Assinale a alternativa que apresenta as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
$P_1=(1 ,2 ,-1) e $P_2 =(-2 ,0 ,-1 ).

a.$\begin{cases}
x=1-3t\\
y=2-2t\\
z=-1
\end{cases}$

b.$\begin{cases}
x=2-3t\\
y=2-2t\\
z=-1
\end{cases}$

c.$\begin{cases}
x=1-2t\\
y=2\\
z=-1-t
\end{cases}$

d.$\begin{cases}
x=1-3t\\
y=3-2t\\
z=-1
\end{cases}$

e.$\begin{cases}
x=1-3t\\
y=2-2t\\
z=-2
\end{cases}$

PERGUNTA 2

Assinale a opção que apresenta a equação paramétrica da reta quetem a mesma direção do vetor v com seta para a direita sobrescrito =(-1 , 2 , 0)e que passa pelo ponto P =(0 , 1 , 5 fecha parênteses.

a.$\begin{cases}
x=-t\\
y=2+2t\\
z=5
\end{cases}$

b.$\begin{cases}
x=-2t\\
y=1+2t\\
z=5
\end{cases}$

c.$\begin{cases}
x=1-t\\
y=1+2t\\
z=5
\end{cases}$

d.$\begin{cases}
x=-t\\
y=1+2t\\
z=5
\end{cases}$

e.$\begin{cases}
x=-t\\
y=1+2t\\
z=5+t\end{cases}$


PERGUNTA 3

Assinale a opção que apresenta a equação paramétrica do plano definido pelos vetores u com seta para a direita sobrescrito =( 1 , 1 , 2 )ev com seta para a direita sobrescrito =(-1 , 1 , 3 ) , e que passa pelo ponto P =( 0 , 3 ,-2 )

a.$\begin{cases}
x=1+t-h\\
y=3+t+h\\
z=-2+2t+3h
\end{cases}$

b.$\begin{cases}
x=t-h\\
y=4+t+h\\
z=-2+2t+3h
\end{cases}$

c.$\begin{cases}
x=t-2h\\
y=3+t+h\\
z=-2+2t+3h
\end{cases}$

d.$\begin{cases}
x=t-h\\
y=3+t+h\\
z=-3+2t+3h
\end{cases}$

e.$\begin{cases}
x=t-h\\
y=3+t+h\\
z=-2+2t+3h
\end{cases}$

PERGUNTA 4

Assinale a opção que apresenta a distância correta entre os planos π_1dois pontosreto x+reto y-reto z+2 =0reto eπ_2 dois pontosreto x+2 reto y-reto z-1 =0

a.
d (π_1, π_2)=1

b.
d (π_1, π_2)=0

c.
d (π_1, π_2)=\frac{\sqrt{2}{2}}

d.
d (π_1, π_2)=\sqrt{6}

e.
d (π_1, π_2)=\sqrt{2}



PERGUNTA 5

Assinale a opção que apresenta a distância entre o ponto P =(4 , 1 , 2)e a reta

r $\begin{cases} x=3-2t\\y=2-t\\z=-1+2t\end{cases}$

a.
d (P , r)=74 sobre 3

b.
d (P , r)=numerador \sqrt{74 sobre denominador 3 fim da fração

c.
d (P , r)=\sqrt{74

d.
d (P , r)=\sqrt{8

e.
d (P , r)=\sqrt{6



PERGUNTA 6

Assinale a alternativa que apresenta a distância correta entre os planos π_1dois pontos 2 reto x+reto y-reto z+2 =0reto eπ_2 dois pontos4 reto x+2 reto y-2 reto z-5 =0.

a.
d (π_1, π_2)=\sqrt{6}

b.
d (π_1, π_2)=1

c.
d (π_1, π_2)=0

d.
d (π_1, π_2)=numerador 3 \sqrt{6} sobre denominador 4 fim da fração

e.
d (π_1, π_2)=5



PERGUNTA 7

Assinale a opção que apresenta a equação normal do plano (Também chamada de equação analítica do plano) quetem vetor normal v com seta para a direita sobrescrito =(1 , 2 ,-3)e que passa pelo ponto P =(0 ,-1 , 7 fecha parênteses.

a.
x+2 y-3 z+23 =0

b.
x+2 y+3 z+23 =0

c.
x+2 y-3 z=0

d.
x-2 y-3 z+23 =0

e.
x+2 y-3 z-23 =0



PERGUNTA 8

Assinale a opção que apresenta a distância entre o ponto P =(1 ,-2 , 1)e o plano π dois pontos reto x+2 reto y-reto z+3 =0

a.
d (P , π)=numerador \sqrt{6 sobre denominador 6 fim da fração

b.
d (P , π)=3

c.
d (P , π)=numerador \sqrt{2 sobre denominador 2 fim da fração

d.
d (P , π)=\sqrt{6
e.
d (P , π)=numerador \sqrt{3 sobre denominador 3 fim da fração

Answer 1

Resposta:

$1. \begin{cases} x=1-3t\\ y=2-2t\\ z=-1 \end{cases}$

$2. \begin{cases} x=-t\\ y=1+2t\\ z=5 \end{cases}$

$3. \begin{cases} x=t-h\\ y=3+t+h\\ z=-2+2t+3h \end{cases}$

$4. d (\pi_1, \pi_2)=0$

$5. d (P , r)=\dfrac{\sqrt{74}}{3}$

$6. d (\pi_1, \pi_2)=\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$

$7. x+2 y-3 z+23 =0$

 

$8. d (P , \pi)=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$

Explicação passo a passo:

8,75

Answer 2

Equação da Reta e Distância entre planos

Pergunta 1

Equação paramétrica de uma reta ou  plano é uma equação escrita em função de um parâmetro que é comum à todas as coordenadas, e tem a seguinte forma:

$\left\{\begin{array}{lll}x=x_0 +at\\y = y_0 +bt\\z=z_0 +ct\end{array}\right$

Onde x₀, y₀, z₀ são as coordenada do ponto que pertence à reta e a, b, c são as coordenadas do vetor coincidente à reta.

Dados os dois pontos p₁ (1, 2, -1) e p₂ (-2, 0, -1), encontraremos o vetor coincidente a reta, diminuindo p₂ de p₁.

p₁p₂ = (-2 -1, 0 - 2, -1 - (-1) )

p₁p₂ = (-3, -2, 0)

onde a = -3, b = -2 e c =0.

Substituindo na equação paramétrica o ponto p₁ (x₁, y₁, z₁), ou p₂, e o vetor p₁p₂ .

x = x₁ + at

x= 1 - 3t

y = y₁ + bt

y = 2 - 2t

z = z₁ +ct

z = -1 + 0t

Resposta:

$\left\{\begin{array}{lll}x=1 -3t\\y = 2-2t\\z=-1\end{array}\right$

Pergunta 2

Essa resolução é bem parecida com a anterior, mas o vetor já foi dado.

p(0, 1, 5)

v = (-1, 2, 0)

Resposta

$\left\{\begin{array}{lll}x=-t\\y = 1+2t\\z=5\end{array}\right$

Pergunta 3

Encontrar a equação paramétrica de um plano segue a mesma forma usada para encontrar a da reta, porém precisaremos de 2 vetores e um ponto do plano.

$\left\{\begin{array}{lll}x=x_0 +at + a'k\\y = y_0 +bt+b'k\\z=z_0 +ct+c'k\end{array}\right$

Onde x₀, y₀, z₀ são as coordenada de um ponto p do plano, a, b, c são as coordenadas do vetor v e a', b', c' são as do vetor u.

Os valores do ponto p e dos vetores v e u são:

p(0, 3, -2)

u = (1, 1, -2)

v = (-1, 1, 3)

Resposta

$\left\{\begin{array}{lll}x=t-k\\y = 3+t+k\\z=-2 + 2t +3k\end{array}\right$

Pergunta 4

A distância entre 2 planos é menor distância (d) entre eles.

Para isso temos que pensar na posição relativa entre os dois planos.

Dois planos podem ser

• paralelos - d ≠ 0 (nenhum ponto coincide)
• coincidentes - d = 0 (todos os pontos coincidem)
• transversais = d = 0 (há uma intercessão entre os planos)

Antes de calcular a distância entre planos temos que verificar a posição relativa entre eles, comparando os índices a, b, c e d das suas equações.

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}$

Se as razões entre os índices forem iguais, eles são coincidentes. Se só a razão entre os índices d for diferente, os planos são paralelos.

Os planos dados são:

π₁: x + y - z + 2 =0

π₂: x + 2y - z - 1 =0

Comparando os índices:

$\frac{1}{1'} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{-1}{-1} \ne \frac{2}{-1}$

Os dois planos são transversais entre si, logo a distância mínima entre ele é zero.

Resposta: d=0

Pergunta 5

Para achar a distância entre o ponto p(4,1, 2) e reta

$\left\{\begin{array}{lll}x=3-2t\\y = 2-t\\z= -1+2t\end{array}\right$

Tomamos um ponto p₀(x, y, z) qualquer da reta e, de acordo com a equação paramétrica, podemos escrever p₀ da seguinte forma:

p₀(x, y, z) = p₀(3 - 2t , 2 - t , -1 + 2t)

Definimos o vetor pp₀ diminuindo p₀ de p:

pp₀ = (3 - 2t - 4, 2 - t - 1, - 1 + 2t - 2)

pp₀ = (-1 - 2t, 1 - t, -3 + 2t)

Calculando a  projeção de um vetor no outro e igualando a zero, encontramos t e depois substituímos em pp₀.

pp₀·v = 0

(-1 - 2t, 1 - t, -3 + 2t)· (-2, - 1, 2) = 0

(-1 - 2t) (- 2) + (1 -t) (-1) +(-3 +2t) 2 =0

2 + 4t - 1 +t -6 + 4t = 0

t = 5/9

pp₀ = (-1 -2t, 1 -t, -3 +2t)

pp₀= (-1 -2(5/9), 1 - (5/9), -3 + 2(5/9) )

pp₀= (-19/9}, 4/9, -17/9)

O tamanho do vetor pp₀ será

$d= \left| \sqrt{(-\frac{19}{9} )^2 +(\frac{4}{9} )^2+(-\frac{17}{9} )^2} \right|$

Resposta

$d= \sqrt{74}/3$

Pergunta 6

Conforme a pergunta 4, para achar a distância entre dois planos, primeiro verificamos se os planos são paralelos entre si

π₁: 2x + y - z + 2 =0

π₂: 4x + 2y - 2z - 5 =0

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} \ne \frac{2}{-5}$

Os planos são paralelos e não coincidentes.

Para calcular a distância entre os planos π₁ e π₂, calculamos a distância entre um plano e um ponto.

Podemos encontrar um ponto que pertença a um plano, igualando duas das suas coordenadas à zero.

π₁: 2x + y - z + 2 =0

y = z = 0

x = - 1

Encontramos o ponto p(-,1 0, 0). Substituindo p e π₂ na equação da distância:

$d= \left | \frac{ax_0 +by_0 +cz_0 +d}{\sqrt{a^2 +b^2+c^2}} \right|$

$d= \left | \frac{4(-1) +2(0)-2 (0)-5}{\sqrt{4^2 +2^2+(-2)^2}} \right|$

Resposta

$d= \frac{3\sqrt{6}}{4}$

Pergunta 7

Para achar a equação do plano calculamos o produto escalar entre o vetor v e um vetor definido pelo p e por um outro ponto qualquer do plano.

p₀(x, y, z)

p(0, -1, 7)

v = (1, 2, -3)

pp₀ = (x - 0, y - (-1), z - 7)

pp₀ = (x , y + 1, z - 7)

pp₀·v = 0

(x, y + 1, z - 7)·(1, 2, -3)=0

x + 2y + 2 - 3z + 21=0

Resposta

x + 2y - 3z + 23 =0

Pergunta 8

Essa questão é muito parecida com a 6.

O ponto dado é p(1, -2, 1) e o plano dado π: x +2y - z + 3=0

Para achar a distância entre eles basta usar a equação da distância

$d= \left | \frac{1\times 1 +2(-2) +(-1)1+3}{\sqrt{1^2 +2^2+(-1)^2}} \right|$

Resposta

$d= \frac{\sqrt{6}}{6}$

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