Question

Dividir 570 em 3 partes , de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para
5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte
vale:
a) 120

b) 100

c) 320

d) 300

e) 200

Answer 1

Após analisar o sistema de equações e utilizar o método de substituição, concluímos que a alternativa que corresponde ao valor da terceira parte é:

d)300

Vamos fazer um sistema de equações para encontrar o valor da terceira parte.

Um sistema de equações é um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita.

Para resolver esse sistema, vamos usar o método de substituição, onde precisamos isolar o valor de uma incógnita em relação a outra equação e então realizar a substituição.

Como podemos ver, as partes não são iguais, pois a razão entre elas é diferente umas das outras.

Sendo assim:

1. Vamos chamar o valor da primeira parte de "a"
2. O valor da segunda parte de "b"
3. E finalmente, o valor da terceira parte de "c", que é o valor que precisamos encontrar.

Considerando essas incógnitas, podemos escrever o valor total das partes da seguinte forma:

$a+b+c=570$

Sabendo que a primeira parte tem que estar pra segunda assim como 4 está para 5, podemos escrever algebricamente assim:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{5}\\\\\\\boxed{5.a=4.b}$

Sabendo que a segunda parte tem que estar pra terceira assim como 6 está para 12, podemos escrever algebricamente assim:

$\dfrac{b}{c}=\dfrac{6}{12}\\\\\\12.b=6.c\\\\12.b(\div 6)=6.c(\div 6)\\\\\boxed{2.b=c}$

Temos agora um conjunto de equações, constituído por:

$\begin{cases}a+b+c=570\\5.a=4.b\\2.b=c\end{cases}$

I) Vamos isolar o valor de "a" na primeira equação. Lembrando que quando um número troca de lado do sinal de igual, devemos inverter sua operação:

$a+b+c=570\\\\\boxed{a=570-b-c}$

II) Agora vamos substituir o valor de "a" encontrado acima na segunda equação:

$5.a=4.b\\\\5.(570-b-c)=4.b\\\\2850-5b-5c=4b\\\\2850-5c=4b+5b\\\\2850-5c=9b\\\\9b=2850-5c\\\\\boxed{b=\dfrac{2850-5c}{9}}$

III) E por último, basta substituir o valor de "b" encontrado acima na terceira equação, e assim, encontrar o valor de "c" que representa a terceira parte.

$\dfrac{2.(2850-5c)}{9}=c\\\\\\2.(2850-5c)=9c\\\\5700-10c=9c\\\\5700=9c+10c\\\\19c=5700\\\\c=\dfrac{5700}{19}\\\\\\\boxed{\boxed{c=300}}$

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Answer 2

A terceira parte vale 300. Alternativa D.

• Para fazer o equacionamento matemático do exercício, considere que a primeira, segunda e terceira partes sejam a, b e c respectivamente. Dividindo 570 em três partes então:

a + b + c = 570 ①

• A primeira está para a segunda como 4 está para 5: Escreva essa proporção.

$\large \sf \dfrac{a}{b} = \dfrac {4}{5}$  ⟹ Multiplique em cruz.

5a = 4b ②

• A segunda está para a terceira como 6 está para 12: Escreva essa proporção.

$\large \sf \dfrac{b}{c} = \dfrac {6}{12}$  ⟹ Simplifique o segundo membro.

$\large \sf \dfrac{b}{c} = \dfrac {1}{2}$  ⟹ Multiplique em cruz.

2b = c ③ ⟹ Multiplique ambos os membros por 2.

4b = 2c ⟹ Substitua essa equação na equação ②.

5a = 2c ④

• Substitua as equações ③ e ④ na ①, mas antes faça com que os coeficientes de a e b sejam iguais.

$\large \sf 2b=c \quad \xrightarrow {\quad \times 5 \quad } \quad 10b = 5c$

$\large \sf 5a=2c \quad \xrightarrow {\quad \times 2 \quad } \quad 10a = 4c$

$\large \sf a+b+c=570 \quad \xrightarrow {\quad \times 10 \quad } \quad 10a+10b+10c = 5700$

• Substitua:

4c + 5c + 10c = 5700 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

19c = 5700 ⟹ Divida ambos os membros por 19.

c = 300

A terceira parte vale 300. Alternativa D.

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