Question

o volume de um tetraedro regular é 144 raiz de 2, calcule o perímetrodas arestas

Answer 1

O tetraedro regular é uma pirâmide regular de base triangular.

E o volume da pirâmide é dado por essa fórmula:

$\displaystyle V=\dfrac{A_{\text{b}}\cdot H}{3}$

Ab = área da base; H = altura.

Como a base é um triângulo (equilátero), sua área vai ser dada pela fórmula:

$\displaystyle A_b=\frac{l^2\sqrt 3}{4}$

Agora precisamos da altura em função do lado do triângulo.

Imaginando essa pirâmide, percebemos que a altura da pirâmide junto do apótema do triângulo e da altura do triângulo, formam um outro triângulo, dessa vez retângulo.

Com o teorema de Pitágoras, dá pra formar essa equação:

$\displaystyle h^2=H^2+a^2$

$\displaystyle H^2=h^2-a^2$

O apótema do triângulo equilátero vale 1/3 de sua altura.

$\displaystyle H^2=(\frac{l\sqrt 3}{2})^2-(\frac{1}{3} \cdot \frac{l\sqrt 3}{2})^2$

$\displaystyle H^2=\frac{3l^2}{4} - \frac{3l^2}{36}$

$\displaystyle H^2=\frac{9 \cdot 3l^2 - 3l^2}{36}$

$\displaystyle H^2=\frac{24l^2}{36}$

$\displaystyle H=\frac{2l\sqrt 6}{6}$

$\displaystyle H=\frac{l\sqrt 6}{3}$

Com o valor de H, agora podemos achar o volume:

$\displaystyle V=\dfrac{\frac{l^2\sqrt 3}{4} \cdot \frac{l\sqrt 6}{3}}{3}$

$\displaystyle V= \frac{3l^3\sqrt 2}{12} \cdot \frac{1}{2}$

$\displaystyle V = \frac{l^3\sqrt 3}{12}$

Já que V = 144√2,

$\displaystyle \frac{l^3\sqrt 3}{12} = 144\sqrt 2$

$\displaystyle l^3\sqrt 2 = 1728\sqrt 2$

$\displaystyle l^3\cancel{\sqrt 2}=1728 \cancel{\sqrt 2}$

$\displaystyle l=\sqrt[3]{1728}$

$\displaystyle l=12$

Como uma aresta vale 12 e o total de arestas é igual ao total de triângulos vezes 3 sobre 2, então:

arestas = (4 × 3) / 2 = 6;

perímetro = 12 × 6 = 72.