Question

O guindaste tem uma haste extensora de 30 ft e pesa 800 lb aplicado no centro de massa G. Se o máximo momento que pode ser desenvolvido pelo motor em A é de M = 20 (103) lb. Ft. Determine a carga máxima W aplicada no centro de massa G¿ que pode ser levantado quando teta for 30 graus.

Answer 1

Boa noite!

O momento total no ponto A, onde está conectado o motor, é igual à soma do momento produzido pelo peso da haste mais o momento exercido pela carga colocada na extremidade da haste.

Vamos calcular esses momentos separadamente. Mas, antes, lembremos a expressão que nos permite calcular o momento produzido por uma força:

$M=F\cdot{d}\cdot{\text{sen}\theta}$

onde

$F$ é a força aplicada
$d$ é a distância entre o ponto de aplicação da força e o ponto onde estamos calculando o momento
$\theta$ é o ângulo entre a direção força e a direção da haste

Momento produzido pelo peso da haste:

Neste caso, temos:

$F_G=800\,lb$
$d_G=16\,ft$
$\theta=60\º$

Note que o ângulo θ é o ângulo complementar ao ângulo de 30º dado (basta você olhar para o desenho para ver isso, pois a força é vertical o ângulo de 30º é medido em relação à linha horizontal).

Utilizando a fórmula anterior, temos:

$M_{G}=F_G\cdot{d_G}\cdot{\text{sen}\theta}$
$M_{G}=800\cdot{16}\cdot{\text{sen}60\º}$
$M_{G}=800\cdot{16}\cdot{0,87}$
$M_{G}=11085\,lb\cdot{ft}$

Momento produzido pela carga:

Aqui, temos:

$F_W=W=\?$
$d_W=16+14+\frac{2}{\text{cos}30\º}=32,31\,ft$
$\theta=60\º$

Note o cálculo da distância ao ponto onde a carga é aplicada. Seu valor é igual à soma da distância da haste mais a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto igual a 2 pés é adjacente ao ângulo de 30º (olhe na figura).


Utilizando a fórmula do momento, temos:

$M_{W}=F_W\cdot{d_W}\cdot{\text{sen}\theta}$
$M_{W}=W\cdot{32,31}\cdot{\text{sen}60\º}$
$M_{W}=W\cdot{32,31}\cdot{0,87}$
$M_{W}=27,98W$

Como não sabemos a carga W, deixamos como incógnita.

Cálculo do momento total:

O momento total aplicado no ponto A é a soma dos momentos que calculamos acima. Isto é:

$M_A=M_G+M_W$
$M_A=11085+27,98W$

Agora, vamos supor que a carga W aplicada seja a carga máxima suportada pelo motor. Nesse caso, de acordo com o enunciado, temos:

$M_A=20\cdot{10}^3\,lb\cdot{ft}=20000\,lb\cdot{ft}$

Dessa forma, a expressão anterior nos dá:

$M_A=11085+27,98W$
$20000=11085+27,98W$
$20000-11085=27,98W$
$8915=27,98W$
$W=\frac{8915}{27,98}$
$W=318,62\,lb\cdot{ft}$

Assim, carga carga máxima que pode ser levantada quando o ângulo é de 30º é de aproximadamente 319 libra-força metro.