O conjunto solução da inequação 2x-1/x+2 < 5/3 é:a) S = {x e R | x < 13 }b) S = { -2, 1/2 }c) S = { -2, 13 }d) S = { x e R | -2 < x < 13 }e) S = { 3, 1/2 }(com o cálculo, por favor)
Soluções para a tarefa
Resposta:
c) S = {-2, 13}
Explicação passo-a-passo:
Maldita prova de matemática da UFSC!!!
Bem, vamos lá:
• Primeiro passo: você tem de ter em mente que essa questão aborda as inequações, mais precisamente a inequação-quociente.
Isso o impedirá de passar o denominador da fração, (x+2) para o outro lado multiplicando o 5/3.
Isso porque numa inequação o X não tem um valor único, como numa equação. Ao fazer o mencionado acima, você estaria eliminando possíveis valores de X.
• Segundo passo: que fazer?
Para resolver a questão você tem de "inigualar" essa questão à zero, e não a 5/3. Para isso, passe o 5/3 para o outro lado, subtraindo o (2x-1) / (x+2).
Dessa forma:
(2x-1) / (x+2) - 5 / 3 < O
• Terceiro passo: aqui está o verdadeiro problema da questão, que é fazer o M.M.C entre um polinômio e um número real qualquer.
(2x-1) / (x+2) - 5 / 3 < O
O (x+2) e o 3 estão dividindo as duas frações. O M.M.C será um, multiplicado pelo outro (em aberto).
MMC > (x+2) * 3
A partir daí, é o mesmo processo usado comumente. Divide-se pelo de baixo (denominador), multiplica-se pelo de cima (numerador).
Ao fazer esse processo na primeira fração (2x-1) / (x+2), quando você dividir o MMC pelo denominador, o (x+2) de ambos (denominador e MMC) irá se anular, e sobrará o 3 que você multiplicará pelo numerador: 3(2x-1)
Na segunda fração. dividindo o MMC pelo denominador, o 3 do MMC e o 3 do -5/3 se anularão, sobrará o (x+2) e você multiplicará pelo numerador:
-5(x+2)
Então teremos: 3(2x-1) - 5(x+2) / (x+2) * 3 (mmc)
Fazendo a distributiva: x - 13 / 3x - 6 < O
• Quarto passo: transforme o numerador e o denominador em duas funções distintas, que aqui chamarei de f(x) e g(x) respectivamente, descubra as raízes da função, monte o gráfico e faça o estudo dos sinais.
Vamos lá:
f(x) = x - 13
g(x) = 3x + 6
Considere f(x) e g(x), que no plano cartesiano correspondem ao eixo y, igual à zero, para descobrir a raiz da função, que é onde o gráfico cruza o eixo x.
f(x) = x - 13
0 = x - 13
x = 13
g(x) = 3x + 6
x = -2
Isso significa que o gráfico corta o eixo x no 13, na f(x)
e -2 na g(x).
Como o coeficiente angular (que acompanha o x) das duas funções é positivo, seus gráficos terão retas crescentes.
O exercícios quer saber em que intervalo x será negativo. Fazendo o estudo do sinal nos dois gráficos e comparando, temos que:
X será negativo entre os intervalos ]-2, 13]