Question

O comité organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comité organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes o comité organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? A 15 B 30 C 108 D 360 E 972 .

Answer 1

Olá.


Vamos para a resolução da questão: 




Para chegar ao resultado, é necessário supor que o examinador irá querer que as cores utilizadas sejam da bandeira do Brasil, não necessariamente todas as quatro cores, verde, amarelo, azul e branco.

Com isso, podemos pegar uma área de qualquer figura, e dela faremos 4 opções de cores, e nessas áreas, as laterais não podem ter cores iguais, desta forma, serão apenas 3 opções.

As demais áreas também não devem ter cores iguais. Portanto, podemos pensar da seguinte maneira:


Com o número total de 6 áreas, vamos ter as possibilidades de: 4 alternativas de cores na primeira área, e 3 alternativas de cores para as demais áreas que sobrarem, que neste caso são 5.

Assim, a resolução fica:

4 . 3. 3 . 3. 3 . 3  = 4.3 elevado a 5a potência, que é igual a  972.

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta:

972

Explicação:

Sejam A, B, C, D, E e F as 6 regiões da logomarca, como mostrado na figura.

O número de colorações possíveis, com no máximo 4 cores, é 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 972;

com exatamente 3 cores é :

C (4,3) x 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 384

com exatamente 2 cores:

C(4,2) x 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 12

e, com uma cor, é impossível.

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de maneiras de pintar usando todas as

cores é

972 − 384 + 12 = 600

Observação: no enunciado, caso o comitê resolvesse utilizar no máximo as quatro cores da bandeira nacional, a alternativa correta seria a E, 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 972.