Question

Num congresso internacional de medicina realizado no Brasil, cada um dos 210 participantes recebeu, no primeiro dia, um cartão com as bandeiras de dois estados brasileiros, tomados de uma lista com n estados. No último dia, duas dessas bandeiras foram sorteadas; caso houvesse um participante cujo cartão tivesse as bandeiras sorteadas, ele ganharia um prêmio especial da organização. Sabendo que não havia no congresso dois participantes com o mesmo par de bandeiras em seus cartões, pode-se concluir que n valia, no mínimo, (A) 17. (B) 18. (C) 19. (D) 20. (E) 21.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

21 estados (letra e) segundo a formula binomial dando um total de 210 possíveis combinações.

Cada participante recebeu bandeiras de 2 estados.

Portanto nenhum participante recebeu bandeiras iguais (por exemplo, são paulo e sao paulo nas dus bandeiras)

Como são n estados, então podemos supor de inicio que existem n*(n-1) possíveis combinações.

Entretanto, foi dito que não existe 2 participantes com o mesmo par de bandeiras.

Apenas para ilustrar, vamos supor que houvessem 3 bandeiras: A, B, C

ao tomar 2 bandeiras dentre as 3, teríamos $3\times2={\bf6}$ possibilidades que são AB, AC, BC, BA, CA, CB.

portanto, vemos que para retirar 2 bandeiras de forma não repetida, precisamos dividir o valor por 2.

De forma geral, para retirar k bandeiras de um total de n estados, teremos que fazer o uso da formula binomial

$_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Mas como k=2, teremos

$_nC_2=\frac{n\times(n-1)\times(n-2)!}{2!(n-2)!}$

$_nC_2=\frac{n\times(n-1)}{2}$

A única forma de descobrir o valor que resulta em 210 (ou um pouco maior) é testando os números.

para 17 bandeiras teremos

$_{17}C_2=\frac{17\times(16)}{2}=136$

Para 21 bandeiras, teremos

$_{21}C_2=\frac{21\times(20)}{2}=210$

Portanto a resposta correta é a letra e)