Question

No sistema ilustrado na figura, considere = 0,25
o coeficiente de atrito estático entre o bloco B e a rampa
de inclinação = 30°. Qual é o valor mínimo e máximo
que a massa do bloco B pode ter para que o sistema
permaneça em equilíbrio? ( = 60°, = 45° =
15

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Partículas em Equilíbrio, concluímos que os valores máximo e mínimo para a massa do bloco B é de, respectivamente,  27,43 kg  e  10,84 kg.

➜     Como todos os blocos estão em equilíbrio, usaremos a Primeira Lei de Newton. Para ficar mais didático, vamos analisar primeiramente as forças que agem no bloco A.

No bloco A, agem a força peso  $p=m_Ag$  e a tensão  $T_1$ .

Pela Primeira de Newton

$\sum F_y=T_1-m_Ag=0\Rightarrow T_1=m_Ag\ \ \ ...(1)$

➜     Naquele nó em cima do bloco A, o ponto de encontro dos 3 fios, agem as tensões  $T_2$  e  $T_3$  . Representado-as em termos de seus componentes x e y (considerando o eixo x paralelo ao solo orientado da esquerda pra direita, e um eixo y orientado de baixo pra cima), temos, na direção y  $T_2\sin \alpha$  e  $T_3\sin\beta$ . Veja a figura 1 em anexo.

Aplicando  $\sum F_y=ma_y=0$

$\sum F_y=T_2\sin\alpha+T_3\sin\beta-T_1=0\Rightarrow T_2\sin\alpha+T_3\sin\beta=T_1\ \ \ ...(2)$

Substituindo (1) em (2)

$T_2\sin\alpha+T_3\sin\beta=m_Ag\ \ \ \ \ ...(3)$

➜     Na direção x,

$\sum F_x=T_2\cos\alpha-T_3\cos\beta=0\Rightarrow T_2\cos\alpha=T_3\cos\beta$

ou

$T_2=\dfrac{T_3\cos\beta}{\cos\alpha}\ \ \ \ \ ...(4)$

Substituindo (4) em (3)

$\dfrac{T_3\cos\beta\sin\alpha}{\cos\alpha}+T_3\sin\beta=m_Ag\Rightarrow T_3(\cos\beta\tan\alpha+\sin\beta)=m_Ag$

Ou seja

$T_3=\dfrac{m_Ag}{\cos\beta\tan\alpha+\sin\beta}=\dfrac{15\cdot 10}{\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \sqrt3+\dfrac{\sqrt2}{2}}=77,64 \ N$

➜     Para o plano inclinado, considere um eixo x paralelo ao plano inclinado orientado do topo pra base. E um eixo y orientado de baixo pra cima. Aqui vamos ter duas situações: (i) Para o valor máximo da massa do bloco B, ele está na iminência de deslizar pra baixo; e (ii) Para o valor mínimo, o bloco está iminência de deslizar pra cima.

Mas em qualquer das situações, conforme a figura 2. a e b, as forças que agem na direção y são a força normal  $n$  e a componente y da força peso  $p_y=m_Bg\cos\theta$ . E assim

$\sum F_y=n-m_Bg\cos\theta=0\Rightarrow n=m_Bg\cos\theta$

E a força de atrito  $f_s=\mu_sn$  torna-se  $f_s=\mu_sm_Bg\cos\theta$

➜     Na situação (i), teremos

$\sum F_{x} =m_{B} g\sin \theta -\mu _{s} m_{b} g\cos \theta -T_{3} =0$

ou

$m_{B} g(\sin \theta -\mu _{s}\cos \theta ) =T_{3} \Longrightarrow m_{B} =\dfrac{T_{3}}{g(\sin \theta -\mu _{s}\cos \theta )}$

ou

$m_B=\dfrac{77,64}{10(0,5-0,25\cdot\dfrac{\sqrt3}{2})}=27,43 \ kg$

➜     Na situação (ii),

$\sum F_{x} =T_{3} -m_{B} g\sin \theta -\mu _{s} m_{B} g\cos \theta =0 \Longrightarrow m_{B} =\dfrac{T_{3}}{g(\sin \theta +\mu _{s}\cos \theta )}$

E então

 $m_B=\dfrac{77,64}{10(0,5+0,25\cdot\dfrac{\sqrt3}{2})}=10,84 \ kg$

∴     O valores máximo e mínimo para a massa do bloco B é de, respectivamente, 27,43 kg  e  10,84 kg  ✍️

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