Question

No plano cartesiano, um círculo de centro P=(a,b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x^2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

#FUVEST

Answer 1

A alternativa correta é a letra b) 3 + 2.√2.

Vamos aos dados/resoluções:

Para um melhor entendimento, desenhe um sistema xOy e a reta y = x (bissetriz do 1º e 3º quadrantes) . A reta x = 0 é o próprio eixo y: assim, a circunferência tangencia o eixo y e a reta y = x , logo:

Como a > 0 existem duas possibilidades para o centro P(a, b) da circunferência:

1) Centro no 4º quadrante, abaixo da reta y = x (e abaixo do eixo x). Desenhe-a (ela tangencia o eixo Y-) e a reta y = x por baixo.

Acontece que ela não tem centro no ponto P da parábola y = x², que está no 1º e 2º quadrante, portanto, não serve.

2) Centro no 1º quadrante, acima da reta y = x ; Ela tangencia o eixo Y+ e o eixo x, por cima.

Ponto P(a, b) ;

Passa pela parábola y = x² ; b = a² ; P(a, a²)

A distância do centro P(a, a²) ao eixo y vale o raio da circunferência ---> r = a.

A distância de P(a, a²) à reta x - y = 0 também é igual ao raio:

a = |1.xP - 1.yP|/√[1² + (-1)²] ;

a = |a - a²|/√2 ;

|a - a²| = √2.a , dando então, duas possibilidades.

I) a - a² = √2.a ;

a ---> 1 - a = √2 ---> a = 1 - √2, logo,  Não serve, pois a > 0 .

b) - a + a² = √2.a ---> :a ---> -1 + a = √2 ---> a = √2 + 1

Finalizando então:

yP = a² ---> yP = (√2 + 1)² ---> yP = 3 + 2.√2

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)