Question

Na figura, temos AB = AC e AE = AD. Sabendo

que o ângulo BAD mede 40°, calcule a medi-
da do ângulo CD E.

Answer 1

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Para melhor compreensão, veja figura em anexo a esta resposta.


De acordo com as informações do enunciado, temos que

•    $\mathsf{med(B\widehat{A}D)=40^\circ;}$

•   O triângulo ABC é isósceles.

    Logo, os ângulos da base são congruentes:
    $\mathsf{med{(A\widehat{B}C)}=med{(A\widehat{C}B)}:=x\qquad\quad(i)}$


•   Pela soma dos ângulos internos do triângulo BAD:

$\mathsf{med(B\widehat{A}D)+med(A\widehat{B}D)+med(A\widehat{D}B)=180^\circ}\\\\ \mathsf{40^\circ+x+med(A\widehat{D}B)=180^\circ}\\\\ \mathsf{med(A\widehat{D}B)=180^\circ-40^\circ-x}\\\\ \mathsf{med(A\widehat{D}B)=140^\circ-x\qquad\quad(ii)}$


•   Pela soma dos ângulos internos do triângulo ABC:

$\mathsf{med(B\widehat{A}C)+med(A\widehat{B}C)+med(A\widehat{C}B)=180^\circ}\\\\ \mathsf{med(B\widehat{A}C)+x+x=180^\circ}\\\\ \mathsf{med(B\widehat{A}C)+2x=180^\circ}\\\\ \mathsf{med(B\widehat{A}C)=180^\circ-2x}\qquad\quad\textsf{mas }\mathsf{med(B\widehat{A}C)=med(B\widehat{A}D)+med(D\widehat{A}C)}\\\\ \mathsf{med(B\widehat{A}D)+med(D\widehat{A}C)=180^\circ-2x}$

$\mathsf{40^\circ+med(D\widehat{A}C)=180^\circ-2x}\\\\ \mathsf{med(D\widehat{A}C)=180^\circ-2x-40^\circ}\\\\ \mathsf{med(D\widehat{A}C)=140^\circ-2x\qquad\quad(iii)}$


•   O triângulo ADE é isósceles.

    Logo, os ângulos da base são congruentes:

    $\mathsf{med(A\widehat{E}D)=med(A\widehat{D}E):=y\qquad\quad(iv)}$


•   Pela soma dos ângulos internos do triângulo ADE:

$\mathsf{med(D\widehat{A}E)+med(A\widehat{E}D)+med(A\widehat{D}E)=180^\circ}\\\\ \mathsf{(140^\circ-2x)+y+y=180^\circ}\\\\ \mathsf{(140^\circ-2x)+2y=180^\circ}\\\\ \mathsf{2y=180^\circ-(140^\circ-2x)}\\\\ \mathsf{2y=180^\circ-140^\circ+2x}$

$\mathsf{2y=40^\circ+2x}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{40^\circ+2x}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (20^\circ+x)}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{y=20^\circ+x\qquad\quad(v)}$


•   O ângulo $\mathsf{B\widehat{D}C}$ é um ângulo raso, isto é, sua medida é 180°:

$\mathsf{med(B\widehat{D}C)=180^\circ}\\\\ \mathsf{med(B\widehat{D}A)+med(A\widehat{D}E)+med(E\widehat{D}C)=180^\circ}\\\\ \mathsf {(140^\circ-x)+y+med(E\widehat{D}C)=180^\circ}\\\\ \mathsf{140^\circ-\diagup\!\!\!\! x+20^\circ+\diagup\!\!\!\! x+med(E\widehat{D}C)=180^\circ}$

$\mathsf{160^\circ+med(E\widehat{D}C)=180^\circ}\mathsf{med(E\widehat{D}C)=180^\circ-160^\circ}\\\\ \mathsf{med(E\widehat{D}C)=20^\circ}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{med(C\widehat{D}E)=20^\circ} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)


Tags:  medida ângulo interno triângulo isósceles geometria elementar plana