Question

Na figura, os segmentos PB e pd são secantes à circunferência, as cordas ad e BC são perpendiculares e AP=ad.calcule a medida x do ângulo bpd.

Answer 1

Inicialmente, vamos nominar os ângulos que estarão envolvidos na resolução da questão:
ângulo BPD = α
ângulo ADC = β
Também sempre que usarmos a notação BD e AC, estaremos nos referindo aos arcos BD e AC.
1. O ângulo α (BPD) é um ângulo excêntrico exterior e é igual à semi-diferença entre os arcos que as retas secantes determinam sobre a circunferência:
α = BD/2 - AC/2 [1]
2. O ângulo β (ADC) é um ângulo inscrito na circunferência, e é igual à metade do arco que ele determina sobre a circunferência:
β = AC/2 (ou AC = 2β) [2]
3. O triângulo APD é isósceles, pois, como o enunciado afirma AP = AD. Como consequência, os ângulos α e β são iguais, pois são os ângulos da base deste triângulo:
α = β [3]
Substituindo os valores obtidos em [1] e [2], ficamos com:
BD/2 - AC/2 = AC/2, ou, multiplicando por 2:
BD - AC = AC
BD = AC + AC
BD = 2AC [4]
Então, o arco BD mede o dobro do arco AC.
4. Vamos chamar ao ponto de encontro das cordas AD e BC de Q. Os ângulos BQD (vamos chamar de Ф) e AQC (vamos chamar de ω) são ângulos excêntricos interiores e são iguais à semi-soma dos arcos que as cordas AD e BC determinam na circunferência:
Ф = ω = BD/2 + AC/2 
Mas, pelo enunciado, sabemos que Ф e ω medem 90º. Então,
BD/2 + AC/2 = 90º ou
BD + AC = 2 × 90º
BD + AC = 180º
Substituindo o valor de BD obtido em [4], ficamos com:
2AC + AC = 180º
3AC = 180º
AC = 180º ÷ 3
AC = 60º [5] (O arco AC mede 60º)
5. Em [2] nós temos que:
AC = 2β, então:
β = AC/2
Substituindo o valor de AC que obtivemos em [5]:
β = 60º ÷ 2
β = 30º
6. Como vimos em [3]:
α = β 
Então, α (ângulo BPD) é igual a 30º