Question

Mostre que: “Se um quadrilátero é inscritível em uma circunferência, então seus ângulos opostos são suplementares.” Sugestão. Desenhe um quadrilá­ tero inscrito em uma circunferência, supondo que um ângulo interno mede x e seu oposto mede y. Observando que x e y são medidas de ângulos inscritos, obtenha as medidas dos arcos determinados por esses ângulos.

Answer 1

Considere um quadrilátero inscritível $\text{ABCD}$, tal que $\text{A}\hat{\text{D}}\text{C}=x$ e $\text{A}\hat{\text{B}}\text{C}=y$, inscrito em uma circunferência de centro $\text{O}$, como na figura em anexo.

Observe que os ângulos $x$ e $\alpha$ enxergam o mesmo arco $\widehat{\text{ABC}}$, sendo o primeiro ângulo inscrito e o segundo ângulo central.

Lembre-se que o ângulo central é igual ao dobro do ângulo inscrito. Desse modo, $\alpha=2x$

Analogamente, os ângulos $y$ e $\beta$ enxergam o mesmo arco $\widehat{\text{ADC}}$, sendo o primeiro ângulo inscrito e o segundo ângulo central. Assim, $\beta=2y$

Note que $\alpha+\beta=360^{\circ}$. Substituindo $\alpha$ por $2x$ e $\beta$ por $2y$, obtemos:

$\alpha+\beta=360^{\circ}~\longrightarrow~ 2x+2y=360^{\circ}$

Dividindo os dois lados dessa equação por $2$:

$\dfrac{2x}{2}+\dfrac{2y}{2}=\dfrac{360^{\circ}}{2}~\longrightarrow~\boxed{x+y=180^{\circ}}$

Logo, $x$ e $y$ são suplementares.