Question

Em uma circunferência de centro C, um ponto P de uma corda AB é tal que PA = 9 cm e PB = 4 cm. Calcule a medida do raio dessa circunferência sabendo que a distância entre P e C é 8 cm.

Answer 1

$\hookrightarrow Observe \ o \ anexo$

$\bullet Como \ os \ segmentos \ em \ vermelho \ correspondem \ ao \ raio \ da\\ circunfer\^{e}ncia \ eles \ s\~ao \ iguais, \ formando \ ent\~a \ um \ tri\^angulo\\ is\'osceles \ \bold{\Delta ACB}$

$\bullet Tra\c{c}ando \ a \ altura \ relativa \ a \ base \ desse \ tri\^angulo \ is\'osceles\\ representada \ pelo \ segmento \ \overline{CJ}, \ como \ a \ altura \ de \ um \ tri\^angulo\\ is\'osceles, \ corresponde \ tamb\'em \ a \ sua \ mediana \ temos \ que:\\ \longrightarrow \overline{BJ}=\overline{JA}$

$\bullet Como \ o \ segmento \ \overline{BA} \ mede \ 13 \ cm, \ e \ a \ mediana \ \overline{CJ} \ o \ dividiu\\ em \ duas \ partes \ \bold{iguais} \ representas \ pelos \ segmentos \ \overline{BJ} \ e \ \overline{JA}\\ eles \ mediram \ cada \ um \ \bold{6,5 \ cm}$

$\bullet Observe \ que \ se \ \overline{BJ}= 6,5 \ cm \ e \ \overline{BP}= 4 \ cm \longrightarrow \bold{\overline{PJ}= 2,5 \ cm}$

$\hookrightarrow Atente-se \ aos \ \bold{tri\^angulos \ ret\^angulos \ \Delta CJP \ e \ \Delta CJA}\\ formados, \ como \ o \ raio \ da \ circunfer\^{e}ncia \ corresponde \ a \ hipotenusa\\ do \ \Delta CJA}, \ podemos \ aplicar \ o \ teorema \ de \ Pit\'agoras \ e \ descobrir\\ o \ valor \ do \ raio, \ mas \ para \ isso \ precisamos \ antes \ encontrar \ o \ valor\\ do \ cateto \ \overline{CJ}, \ diante \ disso, \ temos \ que:$

$\rightarrow Aplicando \ Pit\'agoras \ no \ \Delta CPJ:$

$\overline{CP}^2= \overline{PJ}^2+\overline{CJ}^2$

$8^2= (2,5)^2+ \overline{CJ}^2$

$\boxed{\bold{\overline{CJ}= 8^2-(2,5)^2}}$

$\rightarrow Aplicando \ Pit\'agoras \ no \ \Delta CJA}$

$Lembre-se \ que \ \overline{CA}= raio (r)$

$r^2= \overline{CJ}^2+ \overline{JA}^2$

$r^2= \overbrace{\overline{CJ}^2}^{8^2-(2,5)^2}+ 6,5^2$

$r^2= 64-6,25+42,25$

$r^2= 64+36$

$r = \sqrt{100}$

$\boxed{\boxed{\bold{r= 10 \ cm}}} \hookrightarrow Medida \ do \ raio \ dessa \ circunfer\^encia$