Question

Mostre que d/dy (arcsen(x)) = 1/√1 - x² depois conclua que d/dy (arcsen(u) = u'/√1 - u²

Answer 1

$y=arcsen(x)$

Se y = arcsen(x), então sen(y) = x (função inversa)

$sen(y)=x$

Derivando essa função implicitamente em relação a x:

$cos(y)\cdot\dfrac{dy}{dx}=1~~~~\therefore~~~~y'=\dfrac{1}{cos(y)}$

Pela relação fundamental da trigonometria, achamos que $cos(y)=\sqrt{1-sen^{2}(y)}=\sqrt{1-x^{2}}$

Então:

$y'=\dfrac{1}{cos(y)}~~~~\therefore~~~~\boxed{\boxed{y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}}$
__________________________

$f(x)=arcsen(u)$

Derivando f(x) pela regra da cadeia:

$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\dfrac{du}{dx}\\\\\\f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot u'\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}}}$