Question

. Me ajudem!

$25x^{\log_5x}=x^3$

Answer 1

$25x^{\mathrm{\ell og}_{5\,}x}=x^{3}$

Os logaritmandos devem ser positivos. Logo, para esta equação, temos a restrição

$x>0$


Seja $y=\mathrm{\ell og}_{5\,}x$. Logo, $x=5^y$.


Assim, utilizando as relações acima, e fazendo as substituições na equação, chegamos a

$25\cdot \left(5^y \right )^{y}=\left(5^{y} \right )^{3}\\ \\ 5^{2}\cdot 5^{y^{2}}=5^{3y}\\ \\ 5^{2+y^{2}}=5^{3y}\\ \\ 2+y^{2}=3y\\ \\ y^{2}-3y+2=0\\ \\ y^{2}-y-2y+2=0\\ \\ y\cdot \left(y-1 \right )-2\left(y-1 \right )=0\\ \\ \left(y-1 \right )\cdot \left(y-2 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y-1=0&\text{ ou }&y-2=0 \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} y=1&\text{ ou }&y=2 \end{array}}$


Substituindo de volta para a variável $x$, temos

$\begin{array}{rcl} \mathrm{\ell og}_{5\,}x=1&\text{ ou }&\mathrm{\ell og}_{5\,}x=2\\ \\ x=5^{1}&\text{ ou }&x=5^{2}\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=5&\text{ ou }&x=25 \end{array} }$


Logo, o conjunto solução desta equação é

$S=\left\{5,\,25 \right \}$