Question

Me ajudem a resolver este exercício...

obs: colocar todos os cálculos, e explicar.

1) Estude as funções quando à forma de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos críticos e de inflexão.

a) $f(x)= \frac{x^2}{3} - \frac{3x^2}{2} +2x+4.$

b) $f(x)= \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} +2x-1.$

Answer 1

Questão 1

a) $f(x)=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+4$

$f(x)=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2} \right )\!x^2+2x+4\\\\\\ f(x)=\left(\dfrac{2}{6}-\dfrac{9}{6} \right )\!x^2+2x+4\\\\\\ f(x)=\left(\dfrac{2-9}{6} \right )\!x^2+2x+4\\\\\\ f(x)=-\,\dfrac{7}{6}\,x^2+2x+4$


Calculando a primeira e a segunda derivada de $f:$

$\bullet\;\;f'(x)=-\,\dfrac{14}{6}\,x+2\\\\\\ f'(x)=-\,\dfrac{7}{3}\,x+2\\\\\\\\ \bullet\;\;f''(x)=-\,\dfrac{7}{3}$

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Pontos críticos de $f:$

$f'(x)=0\\\\ -\,\dfrac{7}{3}\,x+2=0\\\\\\ -\,\dfrac{7}{3}\,x=-2\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x_0=\dfrac{6}{7} \end{array}}$


O sinal da primeira derivada ao redor do ponto crítico:

$f'(x)~~~~\underset{\underline{~~~~~~~~~~~~~~}}{++++}\underset{\frac{6}{7}}{\circ}\underset{\underline{~~~~~~~~~~~~~~}}{----}$


Sendo assim,

$\bullet\;\;f$ é crescente em $\left(-\infty,\,\frac{6}{7}\right)$ (primeira derivada positiva);

$\bullet\;\;f$ é decrescente em $\left(\frac{6}{7},\,+\infty \right )$ (primeira derivada negativa).


Por isso, concluimos que $x_0=\frac{6}{7}$ é ponto de máximo (global) de $f.$

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Para analisar a concavidade, podemos usar o teste da segunda derivada. A segunda derivada de $f$ é negativa (constante) para qualquer valor do domínio. Logo, o gráfico de $f$ sempre tem concavidade voltada para baixo, e logo, $f$ não possui pontos de inflexão.

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b) $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+2x-1$

Encontrando a primeira e a segunda derivada de $f:$

$\bullet~~f'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-\dfrac{2x}{2}+2\\\\\\ f'(x)=x^2-x+2\\\\\\ \bullet~~f''(x)=2x-1$

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Pontos críticos de $f:$

$f'(x)=0\\\\ x^2-x+2=0\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (2)\\\\ \Delta=1-8=-7<0$


Como $\Delta$ é negativo, a equação $f'(x)=0$ não tem solução real. Isso significa que $f$ não tem pontos críticos.


Analisando o sinal de $f'\,,$ vemos que

$f'(x)=x^2-x+2\\\\\\ f'(x)=x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\\\\\\ f'(x)=\left(x-\dfrac{1}{2} \right )^{\!\!2}+\dfrac{7}{4}>0~~~~\text{para todo }x\in\mathbb{R}$


Como $f'$ é sempre positiva, então $f$ é crescente em todo o seu domínio, que é $\mathbb{R}.$


Concluímos também que $f$ não possui valor máximo, nem valor mínimo.

(se tivesse, teria que ser um dos pontos críticos pois $f$ é derivável em $\mathbb{R}$, mas não tem pontos críticos )

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Para analisar a concavidade, temos que estudar o sinal da segunda derivada:

$f''(x)=0\\\\ 2x-1=0\\\\\\ 2x=1\\\\ x_1=\dfrac{1}{2}$


O sinal de $f''$ é assim:

$f''(x)~~~~\underset{\underline{~~~~~~~~~~~~~~}}{----}\underset{\frac{1}{2}}{\circ}\underset{\underline{~~~~~~~~~~~~~~}}{++++}$


Sendo assim, o gráfico de $f$ tem

$\bullet\;\;$ concavidade voltada para baixo em $\left(-\infty,\,\frac{1}{2}\right)$  (segunda derivada negativa);

$\bullet\;\;$ concavidade voltada para cima em $\left(\frac{1}{2},\,+\infty\right)$  (segunda derivada positiva).


e $x_1=\frac{1}{2}$ é o único ponto de inflexão de $f.$